Математическая энциклопедия - бернулли блуждание

случайное блуждание, порождаемое Бернулли испытаниями. На примере Б. б. можно пояснить нек-рые основные черты более общих случайных блужданий. В частности, уже в этой простейшей схеме проявляются свойства "случайности", парадоксальные с точки зрения интуиции.

Б. б. можно описать, напр., в следующих терминах. Частица движется по оси х("блуждает") по решетке точек вида . Движение начинается в момент , и положение частицы отмечается только в дискретные моменты времени На каждом шаге координата частица увеличивается или уменьшается на величину hс вероятностями ри соответственно, независимо от

предшествующего движения. Таким образом, перемещения в положительном и отрицательном направлениях ("успехи" и "неудачи") описываются схемой испытаний Бернулли с вероятностью успеха, равной р. Обычно Б. б. изображают геометрически, беря ось t за ось абсцисс, а ось х - за ось ординат (см. рис. 1; где показан начальный участок графика движения частицы, начинающей блуждание из нуля). Пусть случайная величина, равная перемещению частицы на jм шаге. Тогда образуют последовательность независимых случайных величин. Координата блуждающей частицы в момент равна сумме Поэтому график Б. б. дает также наглядное представление о поведении нарастающих сумм случайных величин, причем многие характерные черты флуктуаций сохраняются и для сумм значительно более общих случайных величин. Этот график показывает также изменения капитала одного из игроков в классич. задаче о разорении (именно в связи с этой задачей были найдены формулы для вероятностей многих событий в Б. б.).

В физике Б. б. используют для грубого описания одномерных процессов диффузии (см. Диффузионный процесс).и броуновского движения материальных частиц под действием ударов молекул.

Из важнейших фактов, связанных с Б. б., можно отметить следующие (при этом ниже, если не оговорено противное, принято допущение ).

Вероятности возвращения. Пусть блуждание начинается из нуля. Тогда вероятность хотя бы одного возвращения в нуль равна , т. е. равна единице в симметричном случае и меньше единицы при . В симметричном случае величины (время до первого возвращения в нуль) и (время между первым и вторым возвращениями) и т. д. суть независимые случайные величины с бесконечным математич. ожиданием. Время до -го возвращения, т. е. сумма растет как , а среднее число N2n возвращений за 2n шагов задается формулой

и растет как

Отсюда вытекает парадоксальное следствие: в симметричном Б. б. "волны" на графике между последовательными возвращениями в нуль оказываются поразительно длинными (рис. 2). С этим связано и другое обстоятельство, а именно, что для (доли времени, когда график находится выше оси абсцисс) наименее вероятными оказываются значения, близкие к Точнее, справедливо следующее утверждение: при , для вероятности равенства имеет место формула: где . Следствием является так наз. закон арксинуса: при каждом вероятность неравенства стремится к

Опираясь на этот факт, можно показать, что при шагов частица остается на положительной стороне более чем моментов времени с вероятностью т. е., грубо говоря, подобное положение будет наблюдаться не реже, чем в одном случае из десяти (хотя на первый взгляд оно кажется абсурдным).

Максимальное отклонение. При или блуждающая частица уходит с вероятностью единица в или . Поэтому, напр., при определена случайная величина

и вероятность того, что , равна