Математическая энциклопедия - беренса - фишера проблема

аналитическая проблема, возникшая в связи со статистич. задачей сравнения по эмпирич. данным математич. ожиданий в двух нормальных распределениях, дисперсии к-рых неизвестны (предполагается, что отношение дисперсий также неизвестно). Эта задача была поставлена В. Бе-ренсом [1] в связи с вопросом обработки данных об урожайности. Современная формулировка Б.Ф. п. принадлежит Р. Фишеру (R. Fisher) и основана на понятии достаточной статистики. Пусть взаимно независимые случайные величины, распределенные нормально, причем . Предполагается, что значения математич. ожиданий , дисперсий , а также их отношения неизвестны. Достаточная статистика в случае есть четырехмерный вектор , компоненты к-рого выражаются формулами

и представляют собой взаимно независимые случайные величины, причем подчиняются стандартному нормальному распределению, а и распределению хи-квадрат с и степенями свободы соответственно. Поскольку доста-.точная статистика несет в себе ту же информацию о неизвестных параметрах что и исходные случайные величины в количестве то при проверке гипотез о значениях этих параметров разумно рассматривать лишь достаточную статистику. В частности, это соображение служит основой современной формулировки задачи о проверке гипотезы, согласно к-рой ( заранее заданное число); при этом Б.Ф. п. заключается в отыскании такого множества в пространстве возможных значений случайных величин чтобы при справедливости проверяемой гипотезы вероятность события не зависела от всех неизвестных параметров и в точности равнялась наперед заданному Числу из интервала .

Вопрос о существовании решения В.Ф. п. долгое время дискутировался видными математиками (главным образом в связи с предложенным Р. Фишером подходом к этой проблеме, по существу выходящим за рамки теории вероятностей). В 1964 Ю. В. Линник (совместно с учениками) доказал, что при объемах выборок и п 2 разной четности решение В.Ф. п. существует. Вопрос же о существовании решения для и одинаковой четности остался открытым.

Б.Ф. п. неоднократно подвергалась видоизменениям и обобщениям. В частности, А. Вальд (A. Wald) предложил задачу об отыскании множества К a. в пространстве двух церемонных . Вопрос о существовании такого решения остается открытым. Однако можно эффективно построить такое множество , что в случае справедливости проверяемой гипотезы вероятность события хотя и будет зависеть от неизвестного отношения но ее отклонение от заданного будет мало. Это обстоятельство и служит основой современных рекомендаций для практич. построения критериев сравнения .

Простые и удобные в вычислительном отношении критерии для сравнения предложены В. И. Романовским, М. Бартлеттом (М. Bartlett), Г. Шеффе (Н. Scheffe) и др. Однако статистики этих критериев в терминах достаточной статистики не выражаются и поэтому имеют, вообще говоря, меньшую мощность, чем критерии, конструируемые с помощью решения Б.Ф. п. и ее обобщений.

Лит.: [1] Behrens W. U., "Landwirtsch. Jahr".", 1929, Bd 68, №. 6, S. 807-37; [2] Линник Ю. В., Статистические задачи с мешающими параметрами, М., 1966; [3] Линник Ю. В., Романовский И. В., Судаков В. Н., "Докл. АН СССР", 1964, т. 155, № 6, с. 1262 64. Л. Н. Большее.