Математическая энциклопедия - бернштейн а неравенство

1) Б. н. в теории вероятностей -. уточнение классического Чебышева неравенства, принадлежащее С. Н. Бернштейну (1911, см. [1]); позволяет заменить степенную оценку вероятности больших отклонений на экспоненциально убывающую, см. Больших отклонений вероятности. Именно, если для независимых случайных величин с

выполняется

(, постоянная, не зависящая от ), то для суммы справедливо Б. н. :

где Для одинаково распределенных ограниченных случайных величин и неравенство (1) приооретает наиболее простои вид:

где А. Н. Колмогоровым была получена нижняя оценка вероятности в (1). Оценки БернштейнаКолмогорова используются, в частности, при доказательстве повторного логарифма закона. Нек-рое представление о точности (2) можно получить из сравнения с приближенным значением для левой части (2), даваемым Центральной предельной теоремой в виде

где . После 1967 одномерные Б. н. были распространены на многомерный и бесконечномерный случаи.

Лит.-[1] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.-Л., 1946; [2] Колмогоров А. Н., "Math. Ann.", 1929, Bd 101, S. 126-35; [3] Hoeffding W.; "J. Amer. Statist. Assoc.", 1963, v. 58, № 301, p. 13-30; [4] Прохоров Ю. В., "Теория вероят. и ее примен.", 1968, т. 13, в. 2, с. 266-74; [5] Прохоров А. В., "Матем. заметки", 1968, т. 3, в. 6, с. 731-9; [6] Юринский В. В., "Теория вероят. и ее примен.", 1970, т. 15, в. 1, с. 106-7. А. В. Прохоров.

2) В. н. для производной от тригонометрич. полинома или алгебраич. многочлена, дающее оценку этой производной через наибольшее значение самого полинома (многочлена). Если тригонометрич. полином порядка не выше п,

то для любого хвыполняются неравенства (см. [1]):

Оценка неулучшаема; ибо число М= 1 для

.

и

Б. н. для тригонометрич. полиномов является частным случаем следующей теоремы [1]: если целая функция степени и

то

Б. н. для алгебраич. многочленов имеет следующий смысл [1]: если многочлен

удовлетворяет условию

то для его производной выполняется соотношение

к-рое является неулучшаемым. Как заметил сам С. Н. Бернштейн (см. [1], с. 20), последнее неравенство в сущности вытекает из доказательства Маркова неравенства самим А. А. Марковым.

Б. н. существенно используются при получении обратных теорем теории приближения функций. Имеется ряд обобщений Б. н., в частности для целых функций многих переменных.

Лит.:[1] Бернштейн С. Н., Собр. соч., т. 1, М., 1952, с. 13-42, 269-70; [2] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969.

Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный,

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985