Математическая энциклопедия - близости пространство

множество Рс бинарным отношением на множестве всех его подмножеств, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) равносильно (симметричность);

2) равносильно или (аддитивность);

3) равносильно (рефлексивность). Отношение определяет близостную структуру, или просто близость, на Р; при этом, если , то Аи Вназ. близкими множествами, а если ( означает отрицание ),то далеким и. Б. п. введены в 1936 (опубликовано в 1951, см [1]). Свойства Б. п. являются обобщением равномерных свойств метрич. пространства аналогично тому, как в топологич. пространстве обобщаются его непрерывные свойства. Попытка введения структуры, до нек-рой степени аналогичной близостной, была предпринята в [3], когда еще не вполне оформилось понятие топологич. пространства, и вместо замыкания рассматривалось производное множество: введенное там отношение между множествами соответствовало у них общей (быть может, "идеальной") точки прикосновения.

Более содержательны понятия близости, удовлетворяющие, кроме 1) 3), дополнительным аксиомам, аналогичным аксиомам отделимости; такова, напр., хаусдорфова близость, к-рая удовлетворяет аксиоме: равносильно (при этом вместо 3) достаточно принять ее следствие: ); нормальная близость, характеризующаяся аксиомой: если , то существуют непересекающиеся подмножества такие, что

Появление аксиом Б. п., естественно симметризующих аксиомы топологич. пространства, сформулированные в терминах замыкания (т. е. близости множества и точки), стало возможным после того, как было установлено, что свойство отображений метрич. пространств, состоящее в том, что любые множества, лежащие в на нулевом расстоянии, имеют в образы, также расположенные бесконечно близко, в точности эквивалентно равномерной непрерывности. (Аналогичное топологич. свойство замыкание К, иногда принимается за определение непрерывности.) Таким образом, всякая метрика dist на множестве Рпорождает близость на нем: эквивалентно , причем -непрерывность в смысле последней эквивалентна равномерной непрерывности [2]; Б. п., для к-рых такая метрика возможна, наз. метризуемыми. Близостная структура порождает топологич. структуру: замыкание множества Копределяется следующим образом: тогда и только тогда, когда при этом из -непрерывности отображения вытекает его непрерывность в этой топологии. Б. п., порождающие одну и ту же топологию, не обязательно -изоморфны: так, плоскости Евклида и Лобачевского не -изоморфны, хотя и гомеоморфны [2]. Топология хаусдорфовых близостей хаусдорфова; напротив, из близостной нормальности следует лишь полная регулярность: замкнутые непересекающиеся множества не обязательно далеки. Более того, всякая вполне регулярная топология порождается нормальной близостью, причем бикомпактная единственной. Поскольку произвольные далекие множества в Б. п. можно отделить d-непрерывной функцией [2], они функционально отделимы в смысле его топологии; те Б. п., для к-рых верно обратное, наз. пространствами близости Стоуна Чеха.

С наличием топологии в Б. п. связаны нек-рые обобщения близостной структуры, к-рые обычно сводятся к замене аксиомы нормальности какой-либо более слабой. Таковы, напр., близость Лодато: если ,то ; близость Федорчука ( -близость): равносильно существованию открытого , для к-рого внутренность замвшания совпадает с Л и притом ; и т. д.

Естественность понятия Б. п. проявляется еще и в том, что всякое Б. п. имеет бикомпактное расширение и притом единственное; таким образом, гомеоморфные Б. п. взаимно однозначно соответствуют бикомпактным расширениям порождаемого ими топологич. пространства, -непрерывное отображение, т. е. такое отображение , что для любых из следует и только оно продолжается в непрерывное отображение бикомпактных расширений. Высказанные утверждения, впервые сформулированные в терминах Б. п. в [4], были доказаны, по существу, еще в 1948 П. Самюэлем (P. Samuel). При изучении компактификаций равномерных пространств им было установлено [10],что не всякие, а только нек-рые равномерные пространства (так наз. прекомпактные пространства с бикомпактными пополнениями) можно равномерно непрерывно вложить в бикомпакт, однако для каждого равномерного пространства существует единственное бикомпактное расширение (S-рефлексия) (обратное отображение лишь непрерывно, но не равномерно непрерывно), причем на это расширение можно продолжить все окружения нек-рого типа, напр., все окружения вида Таким образом, равномерные структуры разбиваются на классы эквивалентности, две равномерности эквивалентны, если они имеют одну и ту же S-рефлексию. Близость в равномерном пространстве вводится условием: , если для любого окружения имеет место построенное вложение, равно как и указанная эквивалентность, есть -изоморфизм, т. е. взаимно однозначное и -непрерывное отображение.

Взаимно однозначное соответствие между близостями и компактификациями привело к тому, что в течение довольно длительного времени после обнаружения факта старались Исследовать главным образом те свойства этих пространств, к-рые формулируются непосредственно в терминах бикомпактных расширений. Таковы, напр., размерности (но не ) [6], близостный вес, близостная связность и т. п. На простое свойство близостной связности, т. е. свойство: из следует , обратил внимание еще Г. Кантор (G. Cantor), к-рый определил континуум (не путать с введенным позже канторовым континуумом!) как близостно связное полное подпространство в . Хотя, в принципе, все свойства Б. п. Рзаключены в свойствах инъекции все они, во-первых, отнюдь не обязательно заключены в свойствах самого во-вторых, не известно, каким именно особенностям инъекции соответствуют такие свойства , как, напр., метризуемость, полнота, правильность. Б. п. ценны именно тем, что с их помощью можно изучать компактификаций, но не наоборот. Свойства Б. п., не описываемые непосредственно в топологич. терминах, наз. равномерными. Первым систематически изученным равномерным свойством Б. п. явилась полнота: попытки ввести фильтры Коши или фундаментальные последовательности в терминах бикомпактных расширений не увенчались успехом.

Покрытие наз, равномерным покрытием Б. п. Р, если с него начинается измельчающаяся последовательность звездно вписанных покрытий (т. е. ), причем ни одно из них не разрывает близких множеств, т. е. всегда .

Множество равномерных покрытий В.. п. совпадает с объединением всех равномерных структур, совместимых с этим пространством [4]. Можно также определить равномерные покрытия как прообразы при всевозможных 6-непрерывных отображениях в метрич. пространства покрытий, имеющих положительное лебегово число.

Полнота, определенная с помощью фильтров Коши таких фильтров , что для любого равномерного покрытия , соответствует интуитивным представлениям и совпадает с метрической для метризуемых пространств. Для полноты Б. п. достаточно, чтобы какое-либо из совместимых с ним равномерных пространств было полным. Неизвестно (1977), необходимо ли это условие; во всяком случае, контрпримеры могут доставляться только неправильными (см. ниже) Б. п. Построены [5]пополнения Б. п. как наименьшие (уже не единственные) полные расширения; одновременно пополнения суть наибольшие расширения, на к-рые продолжаются все равномерные покрытия в виде равномерных же покрытпй, а также все -непрерывные отображения в полные Б. п. (другими словами, подкатегория полных Б. п.наряду с подкатегорией бикомпактных пространств рефлексивная категория). Пространства с бикомпактными пополнениями (т. е. прекомпактные пространства) характеризуются тем, что из каждого их равномерного покрытия можно выбрать конечное равномерное подпокрытие.

Произведение Б. п. первоначально вводили, индуцируя на теоретпко-множественное произведение близость из топологич. произведения их бикомпактных расширений. Такое произведение, несмотря на то, что оно идентично с произведением в смысле категории Б. п., все же неудовлетворительно геометрически и пригодно главным образом для построейия экзотических примеров: так, это произведение (обозначаемое обычно ) двух бесконечных дискретных пространств иедискретно и даже неметризуемо, двух прямых линий неметризуемо п анизотропно: поворот получившейся "плоскости" на острый угол не будет 6-изоморфпз-мом, и т. п.