Математическая энциклопедия - комплексного интегрирования метод

контурного интегрирования метод,один из наиболее универсальных методов исследования и приложений дзета-функций, L-функций, вообще, функций, определяемых рядами Дирихле.

К. и. м. в теорию чисел впервые ввел Б. Риман (В. Riemann) [1] в 1876 в связи с изучением свойств дзета-функции. Известные в настоящее время применения К. и. м., опирающиеся на теорему Коши о вычетах, теорему Фрагмена Линделёфа для рядов Дирихле, метод перевала и т. п., весьма разнообразны по своей форме и содержанию. К. и. м. используется для аналитич. родолжения и вывода функциональных уравнений функций Дирихле; для вывода приближенных функциональных уравнений этих функций; для оценок числа их нетривиальных нулей и оценок плотности распределения таких нулей в той или иной части критической полосы; для получения асимптотич. формул и разного рода оценок важнейших арифметич. функций.

Классический вариант К. и. м. иллюстрируется нижеследующим примером аналитич. родолжения и вывода функционального уравнения дзета-функции Римана (см. [2], [3]). При s=s+it,s>0, п>0

После суммирования получается, что функция z(s), первоначально определенная рядом

при s>1, представляется также формулой

Пусть рассматривается интеграл

взятый вдоль (бесконечного) контура С=a+b+g, где а, упроходят по нижнему и верхнему краям разреза вдоль отрицательной действительной оси плоскости z, обходя начало координат по окружности р ⁴ радиуса r<2p. Интеграл J(s)сходится при всех s и притом равномерно в любом круге |s|<D, ибо на a и g подинтегральная функция меньше e^-0.5|z| для всех |х|>z0(D). По теореме Коши он не зависит от r и, значит, представляет целую функцию s. Полагая, что на a,b, gсоответственно z=de^-ip, z=re^iq, z=de^ip и f(z)= 1/(e^z-1), легко расписать J(s)в виде интегралов по действительным переменным:

В круге |z|<p будет |zf(z)|<A. Поэтому второе слагаемое правой части этого равенства меньше, чем 2p Аr^s-1 е^p|t|, что для любого фиксированного sс s>1 стремится к нулю при Следовательно, в силу

формулы (1), pJ(s) = sinpsГ(s)z(s)и

Эта формула, доказанная в предположении s>1, дает продолжение функции z(s) на всю плоскость. Из нее видно, что z(s)является однозначной аналитич. функцией во всей плоскости s, имеющей единственной особенностью простой полюс в точке s= 1 с вычетом 1. Для вывода функционального уравнения z(s)предполагается, что s<0, Nцелое >4. Пусть

где С(N)контур, отличающийся от прежнего контура замыканием а, удугой окружности радиуса R = 2N+1 с центром в начале координат. Интеграл по внешней дуге контура С(N)оценивается в виде AR^se^p|t| что при s<0 стремится к нулю при Отсюда,при С другой стороны по

теореме о вычетах

Поэтому при s<0

Это равенство в соединении с формулой (2) дает соотношение:

к-рое по теории аналитич. родолжения имеет место уже во всей плоскости s и наз. функциональным уравнением дзета-функции Римана.

К. и. м. играет большую роль в получении приближенных функциональных уравнений, к-рые лежат в основе современных оценок функций Дирихле (см. [4],[5]).

К. и. м. является основным в исследованиях распределения нулей функций z(s), L(s,c)и др. До недавнего времени здесь он применялся в форме известных теоремы Литлвуда о числе нулей в прямоугольнике регулярной при s>О функции F(s)и теоремы Баклунда об arg F(s), а также теорем о выпуклости средних значений аналитич. функций (см. [2]). В 1969 X. Монтгомери (G. Montgomerie) [6] нашел новый прямой и более сильный путь использования К. п. м. для этих целей.

К. и. м. в приложениях к теории чисел естественно возникает в связи с формулой суммирования коэффициентов рядов Дирихле (см. [2], [7]).

Лит.:[1] Риман Б., Сочинения, пер. с нем., М.Л., 1948; [2] Титчмарш Е. К., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М., 1953; [3] Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [4] Лаврик А. Ф., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1967, т. 31, № 2, с. 431 42; [5] его же, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1968, т. 32, № 1, с. 134-185; [6] Монтгомери X., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1974; [7] Карацуба А. А., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1972, т. 36, № 3, с. 475 83.

А. Ф. Лаврик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985