Математическая энциклопедия - комплексная структура

1) К. с. на действительном векторном пространстве Vструктура комплексного векторного пространства на V, согласованная с исходной структурой. К. с. на V полностью определяется заданием оператора умножения на число i, роль к-рого может играть произвольное линейное преобразование I :удовлетворяющее условию I²=-Е. Поэтому преобразование такого типа часто паз. К. с. на V. Если Vснабжено К. с. и v1, . . ., vnбазис этого пространства над С, то v1, ..., vn, Iv1,..., Ivn образуют его базис над R, так что Если I К. с. на V, то комплексификация Vпространства Vраспадается в прямую сумму где собственные подпространства преобразования I, продолженного на отвечающие собственным значениям причем V= V+. Обратно, всякое комплексное подпространство такое, что определяет на VК. с, для к-рой

Любые две К. с. на 2n-мерном действительном пространстве Vпереводятся друг в друга нек-рым автоморфизмом пространства V. Множество всех К. с. на Vявляется, таким образом, однородным пространством группы GL(2n, R )и отождествляется с факторпространством GL(2n, R)/H, где подгруппа, состоящая из невырожденных матриц вида

2) К. с.структура комплексного аналитического многообразия. Если Мдифференцируемое многообразие, то К. с. на Мэто комплексный аналитич. атлас на М, согласованный с заданным на Мдействительным дифференцируемым атласом. При этом = К. с. на Миндуцирует К. с. на каждом касательном пространстве Т x (М)и тем самым индуцирует на М почти комплексную структуру, к-рая ее полностью определяет.

Лит.:[1] Лихнерович А., Теория связностей в целом и группы голономий, пер. с франц., М., 1960; [2] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976.

А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985