Математическая энциклопедия - коммутационных и антикоммутационных соотношении представление

линейное слабо непрерывное отображение нек-рого предгильбертова пространства Lв совокупность (вообще говоря, неограниченных) операторов, действующих в каком-либо гильбертовом пространстве Н, такое, что выполнены либо соотношения коммутации

либо соотношения антикоммутации

где a*f,оператор в Н, сопряженный оператору

а f, Еединичный оператор в Ни (Х, Х) скалярное произведение в L.

В случае, когда пространство Lконечномерно, все неприводимые представления как соотношений (1), так и соотношений (2) унитарно эквивалентны друг другу. В случае бесконечномерного пространства существует бесконечно много различных (не унитарно эквивалентных) неприводимых представлений соотношений (1) п (2); для полного сепарабельного пространства Lвсе они описаны [2] [5].

Операторы af,. удовлетворяющие соотношениям (1) и (2), лежат в основе формализма так наз. вторичного квантования (где а f наз. обычно оператором уничтожения частицы в состоянии а оператор а fоператором рождения этой частицы), часто используемого при исследовании квантовых физич. систем с большим числом степеней свободы. Однако во вторичном квантовании используются в основном наиболее простые, так наз. фоковские, К. и а. с. п., то есть неприводимые представления, у к-рых пространство индексов Lсепарабельное гильбертово пространство, а в пространстве Нсуществует так наз. вакуумный вектор, обращаемый всеми операторами а f,в нуль.

Лит.:[1] Березин Ф. А., Метод вторичного квантования, М., 1965; [2] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Обобщенные функции, в. 4, М., 1961; [3] Голодец В. Я., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, в. 4, с. 3-64; [4] GardingL., Wight man A., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1954, v. 40, № 7, p. 617-26; [5] Segal I. E., "Trans. Amer. Math. Soc", 1958, v. 88, X" 1, p. 12-41.

P. А. Минлос.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985