Математическая энциклопедия - комплексное число

число вида z=x+iy, где хи у действительные числа, а так наз. мнимая единица, т. е. число, квадрат к-рого равен -1 (в технической литературе применяется также обозначение ); хназ. действительной, или вещественной, частью К. ч. z, а уего мнимой частью (обозначения x=Re z, y=Im z). Действительные числа частный случай К. ч. при у=0;К. ч., не являющиеся действительными, т. е. такие, что у неравно 0, иногда наз. мнимым и числами. В приведенных терминах, в основном традиционного происхождения, нашел свое отражение сложный исторический процесс развития понятия К. ч.

Алгебраическая природа К. ч. состоит в том, что К. ч. есть элемент (алгебраического) расширения С поля действительных чисел R, получаемого алгебраич. присоединением к полю R корня iмногочлена Х ²+1.

Получающееся таким путем поле С наз. полем комплексных чисел. Наиболее важное свойство поля С состоит в том, что оно алгебраически замкнуто, т. е. любой многочлен с коэффициентами из С разлагается на линейные множители. Иначе это свойство алгебраич. замкнутости выражается в том, что любой многочлен степени с коэффициентами из С имеет в С по крайней мере один корень (теорема Д'Аламбера Гаусса).

Фактическое построение поля С осуществляется следующим образом. В качестве элементов z=(x, у), z' =(x', у'), ..., или комплексных чисел, принимаются точки ( х, у),( х', у'), . . ., плоскости R² с декартовыми прямоугольными координатами хи у, х' и у', ..., причем суммой К. ч. z=(x, у )и z'=( х', у' )наз. К. ч. ( х+х', у+у'), т. е.

а произведением этих К. ч. наз. К. ч. ( хх'-уу', ху'+х'у), т. е.

Нулевой элемент 0=(0, 0) совпадает с началом координат, К. ч. (1, 0) есть единица поля С.

Плоскость R², точки к-рой отождествлены с элементами поля С, наз. комплексной плоскостью. Действительные числа х, х', ... отождествляются при этом с точками ( х,0), ( х', 0), ... оси абсцисс, к-рая применительно к плоскости С наз. действительной, или вещественной, осью. Точки (0, y)=iy,(0, y')=iy',... располагаются на оси ординат, называемой на комплексной плоскости С мнимой ось ю; числа вида iy, iy',... наз. чисто мнимыми. Это представление элементов z, z', ... поля С, или К. ч., в виде точек комплексной плоскости с правилами действий (1) и (2) равносильно указанной выше наиболее употребительной форме записи К. ч.:

называемой также алгебраической, или декартовой, формой записи К. ч. Применительно к алгебраич. форме правила (1) и (2) сводятся к простому условию, что все действия с К. ч. выполняются как с многочленами с учетом свойства мнимой единицы: i-i=j²=-1.

К. ч. z=(x, y) = x+iy и .наз. сопряженными, на плоскости С они располагаются симметрично относительно действительной оси. Сумма и произведение сопряженных К. ч. суть действительные числа:

где наз. модулем, или абсолютной величиной, К. ч. z. Всегда

К. ч. z отлично от 0 тогда и только тогда, когда |z|>0. Отображение есть автоморфизм комплексной плоскости порядка 2 (т. е.), оставляющий на месте все точки действительной оси. При этом ,

Операции сложения и умножения (1) и (2) коммутативны и ассоциативны, связаны соотношением дистрибутивности и для них существуют обратные действия вычитания и деления (кроме деления на нуль), записываемые в алгебраич. форме следующим образом:

Деление К. ч. z' на К. ч.сводится, таким образом, к умножению z' на К. ч.

На важный вопрос о том, является ли построенное расширение С поля действительных чисел с указанными выше правилами действий единственно возможным или же мыслимы существенно иные варианты, дает ответ теорема единственности: всякое (алгебраическое) расширение поля R, получающееся из R присоединением корня iуравнения Х ²+1=0, изоморфно С, т. е. с требованием алгебраич. присоединения корня iсовместимы только указанные выше правила действий с К. ч. Этому факту, однако, не противоречит наличие других интерпретаций К. ч., отличных от истолкования К. ч. как точек комплексной плоскости. Наиболее часто в приложениях используются следующие две интерпретации.

Векторная интерпретация. К. ч. z=x+iy можно отождествить с вектором ( х, у )с координатами хн у, приложенным в начале координат (см. рис.). При такой интерпретации сложение и вычитание К. ч. производится по правилам сложения и вычитания векторов. Однако умножение и деление К. ч., совершаемые необходимо по формулам (2) и (3), не имеют непосредственных аналогов в векторной алгебре (см. [4], [5]). Векторная интерпретация К. ч. непосредственно применяется, напр., в электротехнике для изображения переменных синусоидальных токов и напряжений.

Матричная интерпретация. К. ч. w=u+iv можно отождествить с матрицей второго порядка специального вида

причем действия сложения, вычитания и умножения выполняются по обычным правилам матричной алгебры.

Применяя полярные координаты на комплексной плоскости С, т.