Математическая энциклопедия - коммутативная групповая схема

групповая схема Gнад базисной схемой S, значение к-рой на любой S-схеме является абелевой группой. Примерами К. г. с. служат абелевы схемы и алгебраические торы. Обобщением алгебраич. торов в рамках теории групповых схем служит следующее понятие. Говорят, что К. г. с. есть групповая схема мультипликативного типа, если для любой точки существует открытая окрестность и абсолютно плоский квазикомпактный морфизм такой, что К. г. с. является диагонализируемой над U'. При этом диагонализируемой групповой схемой наз. групповая схема

где М - абелева группа и OS(M) - ее групповая алгебра с коэффициентами в структурном пучке схемы S. В случае, когда Sесть спектр алгебраически замкнутого поля, это понятие сводится к понятию диагонализируемой группы. Если М= Zаддитивная группа целых чисел, то DS(M)совпадает с мультипликативной групповой схемой Gm, S.

Пусть Gгрупповая схема над S, слой к-рой над точкой является групповой схемой мультипликативного типа над полем вычетов k(s). Тогда существует окрестность Uточки sтакая, что является групповой схемой мультипликативного типа, над U(теорема жесткости Гротейдика).

Строение К. г. с. изучено лишь в случае, когда базисная схема Sесть спектр поля k, а К. г. с. Gимеет конечный тип над к. В этом случае К. г. с. содержит максимальную инвариантную групповую аффинную подсхему, фактор по к-рой является абелевым многообразием. Любая аффинная К. г. с. Gтакого типа обладает максимальной инвариантной групповой подсхемой Gm мультипликативного типа, фактор по к-рой является унипотентной группой. Если поле kсовершенно, то где Gⁿмаксимальная унипотентная подгруппа в G.

Лит.:[1] Серр Ж.-П., Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [2] Grоthendieсk А., в кн.: Schemas en grofipes, t. 2, В.Hdlb.N. Y., 1970, p. 1-179; [3.1 Demazurе М., Gabriel P., Groupes algebriques, P.Amst., 1970; [4] Ооrt F., Commutative group schemes. В.Hdlb.N. Y., 1966.

И. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985