Математическая энциклопедия - компактный оператор

оператор А, определенный на множестве Мтопологич. векторного пространства X, со значениями в топологич. векторном пространстве Y такой, что всякое ограниченное подмножество множества Мон отображает в предкомпактное множество пространства Y. Если, кроме того, оператор Анепрерывен на М, то он наз. вполне непрерывным на этом множестве. В случае, когда Xи Yбанаховы или, более общо, борнологические пространства, а оператор линеен, то понятия компактного и вполне непрерывного оператора совпадают. Если Акомпактный, а Внепрерывный операторы, то и К. о., так что множество К. о. есть двусторонний идеал в кольце всех непрерывных операторов. В частности, К. о. не имеет непрерывного обратного. Свойство компактности играет существенную роль в теории неподвижных точек оператора и при изучении его спектра, к-рый в этом случае обладает рядом "хороших" свойств.

Примерами К. о. являются интегральные операторы Фредгольма

Гаммерштейна и Урысона

в нек-рых функциональных пространствах при соответствующих ограничениях на функции K{t, s), g(t, и )и K(t, s, и).

Лит.:[1] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [2] Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [3] Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; [4] Красносельский М. А. и др., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М., 1966.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985