Математическая энциклопедия - кососимметрическая билинейная форма

антисимметрическая билинейная форма,билинейная форма f на унитарном А-модуле V(где А - коммутативное кольцо с единицей), удовлетворяющая условию:

Строение любой К. б. ф. f на конечномерном векторном пространстве Vнад полем характеристики полностью определяется ее индексом Витта w(f) (см. Bumma теорема, Витта разложение). А именно, Vбудет ортогональной (относительно f) прямой суммой ядра формы f и подпространства размерности 2w(f), на к-ром сужение формы f является нейтральной формой. Две К. б. ф. на Vизометричны тогда и только тогда; когда их индексы Витта равны между собой. В частности, невырожденная К. б. ф. нейтральна, а размерность пространства Vв этом случае четна.

Для любой К. б. ф. f на Vсуществует базис е 1, ..., е п, в к-ром матрица формы f имеет вид

где m-w(f), а Е т единичная матрица порядка т. Матрица К. б. ф. в произвольном базисе кососиммет-рична. Поэтому указанные выше свойства К. б. ф. могут быть сформулированы и следующим образом: для любой кососимметрич. матрицы М над полем характеристики найдется такая невырожденная матрица Р, что МР имеет вид (*). В частности ранг матрицы Мчетен, а определитель кососимметрич. матрицы нечетного порядка равен 0.

В случае поля характеристики 2 перечисленные утверждения сохраняют силу, если заменить условие кососимметричности формы f более сильным условием знакопеременности: f(v, v)=Q для любых (для полей характеристики эти условия эквивалентны). Эти результаты допускают обобщение на случай, когда А - коммутативное кольцо главных идеалов, V - свободный А-модуль конечной размерности и f знакопеременная билинейная форма на V. А именно, в этих условиях существует такой базис е 1,..., е п модуля Vи целое неотрицательное число что

а i делит при i=1, ..., т-1, а в остальных случаях Идеалы однозначно определяются указанными условиями, а модуль порождается элементами

Определитель знакопеременной матрицы нечетного порядка равен 0 для любого коммутативного кольца А с единицей. В случае, когда порядок знакопеременной матрицы Мнад Ачетен, элемент является квадратом в А(см. Пфаффиан).

Лит.:[11 Б у р б а к и Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969. В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985