Математическая энциклопедия - лагранжа интерполяционная формула

форма записи многочлена степени п(интерполяционного многочлена Лагранжа), интерполирующего заданную функцию f(х).в узлах х 0, x1,..., х п:

В случае, когда значения х i являются равноотстоящими, т. е. с помощью обозначений (х-x0)/h=t формула (1) может быть приведена к виду

В выражении (2), наз. Л. и. ф. для равноотстоящих узлов, коэффициенты, стоящие перед f(х i):

наз. коэффициентами Лагранжа. Если функция f имеет производную порядка n+1 на отрезке [a, b], все узлы интерполяции лежат на этом отрезке и для любой точки

то существует такая точка что

где

Если абсолютная величина производной ограничена на отрезке [а, b] постоянной Ми если в качестве узлов интерполяции выбраны точки, в к-рые перейдут корни многочлена Чебышева степени n+1 при линейном отображении отрезка [1, 1] на отрезок [а, b], то для любого справедливо неравенство

Если узлы интерполяции комплексные числа z0, z1 ,. . ., zn и лежат в нек-рой области G, ограниченной кусочно гладким контуром а функция f является однозначной аналитич. функцией в замыкании области G, то Л. и. ф. имеет вид

причем

Л. и. ф. для интерполирования с помощью тригоно-метрич. полиномов наз. формула

дающая тригонометрич. полином порядка п, принимающий в заданных узлах х 0, x1,..., х п. данные значения y0, y1,..., y п.

Формула предложена Ж. Лагранжем (J. Lagrange, 1795).

Лит.:[1] Б е р е з и н И. С., Ж и д к о в Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; [2] Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975. Л. Д. Кудрявцев, М. К. Самарин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985