Математическая энциклопедия - лагранжа уравнения

механики обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка, описывающие движения механич. систем под действием приложенных к ним сил. Л. у. установлены Ж. Лаг-ранжем [1] в двух формах: Л. у. 1-го рода, или уравнения в декартовых координатах с неопределенными множителями Лагранжа, и 2-го рода, или уравнения в обобщенных лагранжевых координатах.

Л. у. 1-го рода описывают движения как голономных систем, стесненных только геометрич. связями вида так и неголономных систем, на к-рые наложены, помимо связей (1), кинематич. связи вида

где декартовы координаты и скорости точек, N - число точек системы, t - время, масса р- йточки, имеющей координаты. Связи (1) и (2) предполагаются независимыми, т. е. ранги матриц равны соответственно kи т.

Л. у. 1-го рода имеют вид

где неопределенные множители Лагранжа, пропорциональные реакциям связей, проекции на оси координат заданных активных сил, причем сила Fp действующая на р- юточку, имеет проекции

К дифференциальным уравнениям (3) надлежит присоединить k+m уравнений (1) и (2), в результате чего получается система 3N+k+т уравнений с таким же числом неизвестных Л. у. 1-го рода на практике обычно применяются для систем с небольшим числом неизвестных.

Л. у. 2-го рода описывают движения лишь голономных систем, стесненных связями вида (1). Введением в рассмотрение n=3N-k независимых обобщенных лагранжевых координат qi, с помощью к-рых любое возможное положение системы может быть получено при нек-рых значениях qi из равенств

обращающих уравнения (1) в тождества, устанавливается для каждого tвзаимно однозначное соответствие между возможными положениями системы и точками нек-рой области n-мерного конфигурационного пространства (q1, .., qn). В случае стационарных связей (1) всегда возможно выбрать переменные д;так, что время tне будет входить в уравнения (4). Далее записываются с помощью уравнений (4) выражения для суммы элементарных работ всех активных сил Fp на возможных перемещениях системы

и кинетич. энергии системы

Здесь

обобщенная сила, соответствующая координате однородные степени s формы обобщенных скоростей qi, причем

В случае стационарных связей Т= Т 2. Л. у. 2-го рода имеют вид

Уравнения (5) представляют собой систему га обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка с неизвестными qi. Они инвариантны по форме относительно выбора лагранжевых координат. Эта система уравнений движения имеет наименьший возможный порядок 2n. В этом, а также в отсутствии в уравнениях (5) реакций связей, состоит большое преимущество уравнений (5) по сравнению с Л. у. 1-го рода (3). После интегрирования системы (5) реакции связей могут быть определены из уравнений, выражающих второй закон Ньютона для точек системы.

В случае потенциальных обобщенных сил, когда существует силовая функция такая, что уравнения (5) принимают вид

где носит название функции Лагранжа, или кинетич. потенциала.

Если или то уравнения (6) допускают обобщенный интеграл энергии

или циклический интеграл

соответствующий циклической координате q а.

Лит.:[1] Lagrange J., Мeсаniquе analytique, P., 1788 (рус. пер.Л а г р а н ж Ж., Аналитическая механика, 2 изд., т. 1, М.Л., 1950). В. В. Румянцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985