Математическая энциклопедия - лагранжа множители

переменные, с помощью к-рых строится Лагранжа функция при исследовании задач на условный экстремум. Использование Л. м. и функции Лагранжа позволяет единообразным способом получать необходимые условия оптимальности в задачах на условный экстремум. Метод получения необходимых условий в задаче определения экстремума функции

при ограничениях

заключающийся в использовании Л. м. построении функции Лагранжа

и приравнивании к нулю ее частных производных по xj и наз. методом Лагранжа. В этом методе оптимальное значение находится вместе с соответствующим ему вектором Л. м. из решения системы m+n уравнений. Л. м. допускают следующую интерпретацию [1]: пусть доставляет относительный экстремум функции (1), при условиях (2); Значения зависят от значений bi правых частей ограничений (2). Формулируются достаточно общие предположения, при к-рых все являются непрерывно дифференцируемыми функциями вектора b=(b1, ..., b т).в нек-рой e-окрестности его значения, задаваемого в (2). При этих предположениях непрерывно дифференцируемой по bi будет и функция z*. Частные

производные от экстремума равны соответствующим Л. м. вычисленным при данном b=(b1, ..., b т).

В прикладных задачах z часто интерпретируется как доход или стоимость, а правые части bi как затраты некоторых ресурсов. Тогда размерностью будет отношение единицы стоимости к единице i-гo вида ресурсов. Числа показывают, как изменится максимальный доход (или максимальная стоимость), если количество i-го вида ресурсов увеличится на единицу. Приведенная интерпретация Л. м. распространяется также на случай ограничений в виде неравенств и на случай, когда переменные xj подчинены требованиям неотрицательности.

В вариационном исчислении с помощью Л. м. удобно получать необходимые условия оптимальности в задаче на условный экстремум как необходимые условия безусловного экстремума нек-рого составного функционала. Л. м. в вариационном исчислении являются уже не константами, а нек-рыми функциями. В теории оптимального управления и в Понтрягина принципе максимума Л. м. получили название сопряженных переменных.

Лит.:[1] X е д л и Д ж., Нелинейное и динамическое программирование, пер. с англ., М., 1967; [2] Б л и с с Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950. И. В. Вапнярский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985