Математическая энциклопедия - логарифмический вычет

мероморфной функции w=f(z).в точке а расширенной плоскости комплексного переменного z вычет

логарифмич. производной f'(z)/f(z) в точке а. Представив функцию ln f(z) в окрестности V(а).точки в виде регулярная функция в V(a), получают

Соответствующие формулы для случая имеют вид

Если а - нуль кратности тфункции f(z) или полюс кратности т, то Л. в. f(z) в точке а равен соответственно тили -m; во всех остальных точках Л. в. равен нулю. Если f(z) мероморфная функция в области Dи Г спрямляемая жорданова кривая, расположенная в Dи не проходящая ни через нули, ни через полюсы f(z). то Л. в. функции f(z) относительно контура Г паз. интеграл

к-рый равен разности между числом нулей Nфункции f(z) и числом полюсов Рвнутри Г (с учетом их кратности). Геометрич. смысл формулы (1) состоит в том, что при обходе контура Г в положительном направлении вектор w=f(z) делает N-Р оборотов вокруг начала координат w=0 плоскости переменного w(см. Аргумента принцип). В частности, если f(z) регулярна в D, т. е. Р=0, из (1) получается формула для вычисления индекса точки w=0 относительно образа Г*=f (Г) пути Г при помощи Л. в.:

Формула (2) приводит к обобщению понятия Л. в. для регулярных функций многих комплексных переменных в области Dкомплексного пространства Пусть голоморфное отображение такое, что якобиан и множество нулей E=f^-1(0).изолировано в D. Тогда для любой области ограниченной простой гладкой замкнутой поверхностью Г, не проходящей через нули f, имеем формулу для индекса точки w=0 относительно образа Г*=f (Г):

где интегрирование производится по га-мерному остову

при достаточно малом Интеграл в формуле (3) выражает также сумму кратностей нулей отображения f в G(см. [2]).

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [2] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985