Математическая энциклопедия - логарифмически нормальное распределение

непрерывное, сосредоточенное на распределение вероятностей с плотностью

где Случайная величина Xподчиняется Л. н. р. с плотностью (*), если ее логарифм log Xимеет нормальное распределение с параметрами а и s². Таким образом, Л. н. р. является унимодальным распределением и имеет положительную асимметрию. Моменты случайной величины Xс Л. н. р. с параметрами аи s² выражаются формулой

поэтому математич. ожидание и дисперсия равны соответственно

Л. н. р. служит одним из простейших примеров распределения, к-рое не определяется однозначно своими моментами. Свойства Л. н. р. определяются свойствами соответствующего нормального распределения. Важнейшее свойство Л. н. р.: произведение независимых случайных величин с Л. н. р. снова подчиняется Л. н. р. Имеет место аналог центральной предельной теоремы: распределение произведения пнезависимых положительных случайных величин при нек-рых общих условиях стремится к Л. н. р. при Л. н. р. возникает как предельное распределение и в нек-рых других схемах (напр., в моделях дробления частиц, моделях роста и т. д.).

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Докл. АН СССР" 1941, т. 31, № 2, с. 99-101; [2] К р а м е р Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [3] Aitсhison J., Brown J. A. C., The lognormal distribution, Camb., 1957. А. В. Прохоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985