Математическая энциклопедия - нелинейное интегральное уравнение

интегральное уравнение, содержащее неизвестную функцию нелинейно. Ниже приведены основные классы Н. и. у., к-рые часто встречаются при исследовании различных прикладных задач и теория к-рых в определенной постановке достаточно хорошо разработана. Важным примером Н. и. у. является Урысона уравнение

где замкнутое ограниченное множество конечномерного евклидова пространства,заданная функция, наз. ядром, определенная при числовой параметр, искомая функция.

П. С. Урысон (см. [2]) при определенных предположениях дал полное исследование спектра собственных значений уравнения (1), допускающих положительные собственные функции. Было показано, что положительные собственные функции соответствуют значениям только из нек-рого интервала причем является монотонно возрастающей функцией и

Частным случаем уравнения Урысона является Гаммерштейна уравнение:

где известные функции. Теоремы существования и единственности впервые были установлены А. Гаммерштейном (см. [9]). Он исследовал уравнение (2) в предположении, что действительная функция непрерывна по совокупности аргументов и что самосопряженный в линейный интегральный оператор, порожденный ядром К, является положительным и действует вполне непрерывно из в пространство непрерывных функций.

Другим примером Н. и. у. является Ляпунова Шмидта уравнение:

в к-рых функции и заданные,искомая, число iфиксировано, и суммирование распространено на всевозможные векторы с неотрицательными целочисленными компонентами. Левая часть равенства (3) наз. интегро-степенным рядом от двух функциональных аргументов ,

Уравнение типа (3) впервые рассмотрел А. М. Ляпунов (см. [1]), а позднее, в более общем виде, Э. Шмидт (см. [8]). В их исследованиях были заложены основы теории ветвления Н. и. у., целью к-рой является решение следующей задачи. Пусть ищется решение нелинейной задачи, зависящее от некоторых параметров, причем для некоторых их значений решение может разветвляться. Возникают вопросы о нахождении самого решения и тех значений параметров, при которых оно разветвляется, о числе ветвей и о представлении каждой ветви как функции параметров (см. [6]).

Теория Н. и. у. является частью общей теории нелинейных операторных уравнений. Именно, интегральные уравнения рассматриваются как конкретные иллюстрации соответствующих операторных уравнений. Для этого требуется выяснение общих свойств (непрерывность, полная непрерывность и т. д.) конкретных интегральных операторов, входящих в уравнение (см. [3] [7]).

Лит.:[1] Ляпунов А. М., "Записки Академии Наук", СПБ, 1906, с. 1-225; [2] Урысон П. С, "Матем. сб.", 1923, т. 31, с. 236-55; [3] Вайнберг М. М., Вариационные методы исследования нелинейных операторов, М., 1956; [4] Красносельский М. А., Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, М., 1956; [5] Красносельский М. А. [и др.], Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М., 1966; [6] Вайнберг М. М., Треногий В. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1969; [7] Вайнберг М. М., Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, М., 1972; [8] Schmidt E., "Math. Ann.", 1908 Bd 65, S. 370-99; [9] Hammerstein A., "Acta math.", 1930, v. 54, p. 117-76.

Б. В. Хведелидзе.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985