Математическая энциклопедия - нелинейное уравнение

численные методы решения итерационные методы решения нелинейных уравнений.

Под нелинейными уравнениями понимаются (см. [1] [3]) алгебраические и трансцендентные уравнения вида где хдействительное число,нелинейная функция, а под системой нелинейных уравнений система вида

не являющаяся системой линейных алгебраич. уравнений; решением системы (2) является N-мерный вектор . Уравнение (1) и система (2) могут трактоваться как нелинейное операторное уравнение

с нелинейным оператором L, действующим из векторного конечномерного пространства в . Численными методами решения Н. у. (3) наз. итерационные методы, определяемые переходом от уже известного приближения на n-й итерации к новому приближению и позволяющие при достаточно большом числе итераций найти решение уравнения (3) с нужной точностью е. Важнейшие итерационные методы приближенного решения уравнения (3) как относительно общего вида, так и специального вида, характерного для дискретных (сеточных) методов решения краевых задач для уравнений и систем уравнений с частными производными сильно эллиптич. типа, и являются предметом рассмотрения настоящей статьи. Нелинейные операторные уравнения, связанные с рассмотрением бесконечномерных пространств (см., напр., [4] [8]), являются весьма широким математич. понятием, содержащим в себе как частные случаи, напр., нелинейные интегральные уравнения и нелинейные краевые задачи. Численные методы их приближенного решения включают в себя также методы их аппроксимации конечномерными уравнениями; эти методы рассматриваются отдельно.

Одним из важнейших методов решения уравнения (3) является метод простой итерации, предполагающий возможность замены уравнения (3) эквивалентной системой

где элемент конечномерного нормированного пространства , а оператор Р, отображающий в , является оператором сжатия:

Тогда в силу общего принципа сжатых отображений (см. [1] [4]) уравнение (1) имеет единственное решение, итерационный метод простой итерации

сходится при любом начальном приближении , и для погрешности на n-й итерации справедлива оценка

Пусть нек-рое решение системы (3) удается окружить шаром , и система (3), рассматриваемая вместе с дополнительным условием

эквивалентна системе (4), рассматриваемой вместе с условием (7), причем неравенство (5) справедливо для и любого . Тогда при выборе начального приближения из в методе (6) тоже

гарантируется сходимость к с оценкой погрешности

Для дважды непрерывно дифференцируемых функций при наличии хорошего начального приближения к решению системы (2) часто эффективным методом повышения точности является метод Ньютон аКанторовича. В этом методе уравнение из (2), определяющее нек-рую поверхность , заменяется уравнением касательной плоскости к , проводимой через точку , где ранее полученное приближение к решению (2) (см. [1] [5]). При нек-рых дополнительных условиях метод Ньютона Канторовича приводит к оценке погрешности типа

где и нек-рые константы. На каждой итерации этого метода необходимо решать систему линейных алгебраич. уравнений с матрицей при неизвестных

Иногда эту матрицу сохраняют на нескольких итерациях, иногда производные заменяют разностными аппроксимациями.

Метод Ньютона Канторовича относится к группе методов линеаризации (3). Другим методом из этой группы является метод секущих (см. [3]).

Большое число итерационных методов (так наз. методов спуска) (см. [1] [3], [9], [10]) основано на замене задачи решения уравнения (3) задачей минимизации нек-рого функционала I(и). Напр., в качестве I(и)можно взять

В ряде случаев, когда исходные Н. у. сами являлись уравнениями Эйлера для задачи минимизации нек-рого функционала I(и), такая вариационная формулировка задачи является еще более естественной; операторы Lв подобных ситуациях являются градиентами функционалов I(и)и наз. потенциальными операторами (см. [5], [6]). Среди различных вариантов методов спуска можно назвать метод покоординатного спуска, различные градиентные методы и, в частности, метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов и др., а также и их модификации (см. [2] , [9], [10] и др.). Ряд итерационных методов для решения уравнений (3), описывающих нек-рое стационарное состояние, можно трактовать как дискретизации соответствующих нестационарных задач. Поэтому методы из этого класса называют установления методами (см., напр., [2]). Примером таких нестационарных задач являются задачи, описываемые системой обыкновенных дифференциальных уравнении:

Введение дополнительной независимой переменной характерно и для метода дифференцирования по параметру (см. [5], [11]). Его суть состоит во введении вспомогательного параметра выборе непрерывно дифференцируемых функций и замене системы (2) на систему

при система (9) должна легко решаться, а функции должны совпадать с Система (9), вообще говоря, определяет как функцию от , и искомое решение системы (2) совпадает с . Если систему (9) продифференцировать по , то получится система обыкновенных дифференциальных уравнений

Если на отрезке решить для нее задачу Коти с начальным условием, являющимся решением системы

то будет найдено и нек-рое решение системы (2). Дискретизация (10) по и приводит к численному методу для решения системы (2).

В методе продолжения по парапетру система (9) решается при причем при каждом указанном значении применяется нек-рый итерационный метод с начальным приближением, совпадающим с приближенно полученным решением системы при предыдущем значении . Оба названных метода по сути дела являются итерационными методами решения системы (2) со специальной процедурой нахождения хорошего начального приближения.

Для случая систем большую трудность представляет задача локализации решения. Так как большинство итерационных методов сходится лишь при наличии достаточно хорошего приближения к решению, описанные выше два метода часто позволяют избавиться от необходимости непосредственной локализации решения. Для локализации также часто используются теоремы, основанные на топологич. принципах и монотонности операторов (см. [4] [8]).

Для решения уравнений (1), являющихся простейшими частными случаями (3), число известных и применяемых на практике итерационных методов очень велико (см., напр., [1] [3], [12]). Помимо уже рассмотренных можно указать, напр., итерационные методы высших порядков (см. [1]), включающие в себя метод Ньютона как частный случай, и большое число итерационных методов, специально ориентированных на нахождение действительных или комплексных корней многочленов

где действительные или комплексные числа (см. [1], [12]).

Проблема локализации решения уравнения (1) сводится к отысканию интервала, на концах к-рого непрерывная функция принимает значения разных знаков. Для случая, когда является многочленом, она теряет свою остроту, т. к. известны теоретич. оценки (см. [1]) и имеются методы нахождения всех корней с нужной точностью без задания хороших приближений к ним (см. [12]).

Итерационные методы для решения уравнений (3), возникающих в сеточных аналогах нелинейных краевых задач для уравнений с частными производными, являются частными случаями методов решения сеточных систем (см., напр., [3], [13] [18]). Одним из наиболее интенсивно применяемых методов решения уравнения (3), вероятно, является модифицированный метод простой итерации, записываемый в виде

Где уравнение (3) рассматривается как операторное уравнение в N-мерном евклидовом пространстве ;

, где Sобозначение множества линейных симметричных и положительных операторов, отображающих H в Н. Целесообразно изучение таких методов проводить не в пространстве H, а в пространстве Н B с новым скалярным произведением:

где скалярное произведение в Н.

Если оператор Lтаков, что для него выполнены условия строгой монотонности и Липшиц-непрерывности