Математическая энциклопедия - нелинейная связность

дифференциально-геометрическая структура, задаваемая на категории гладких расслоенных пространств, ассоциированных с нек-рым главным G-расслоением, к-рая фиксирует определенный для данной Н. с. изоморфизм слоев (параллельный перенос) вдоль каждой кусочно гладкой кривой базы расслоения данной категории, согласованный с изоморфизмом соответствующих слоев главного G-расслоения. При этом предполагается, что указанная структура не тождественна ставшему классическим понятию линейной связности, к-рое определяется тем пли иным G- инвариантным горизонтальным распределением. Иной смысл [5] имеет термин Н. с, состоящий в том, что определяемый горизонтальным распределением перенос векторных слоев расслоения теряет линейный характер, т. е. не является изоморфизмом этих слоев.

Необходимость введения и исследование Н. с. диктовалась потребностями изучения различных дифферен-циально-геометрич. структур высших порядков (таких, как напр. Кавагути пространства). Основы общей теории Н. с. достаточно развиты, исследованы и получили приложения нек-рые специальные типы Н. с. (см. [2] [4]).

Пусть гладкое главное G-расслоение со структурной группой Ли Gи канонич. проекцией p на базу В, а К(X)категория всех ассоциированных с Xрасслоений. Изоморфизмом слоя на слой наз. отображение , коммутирующее с действием группы Gна X. Люоой изоморфизм iможет быть задан формулой и, следовательно, является диффеоморфизмом слоев Gx и Gy. Множество Т(Х)всех изоморфизмов между всевозможными слоями главного расслоения Xявляется гладким расслоением со структурой группоида над базой . (группоид категория с обратимыми элементами). Изоморфизм порождает соответствующий изоморфизм слоев над точками любого ассоциированного расслоения и тем самым группоид обслуживает всю категорию

Пусть категория всех кусочно гладких кривых базового многообразия В. Связностью в категории К(Х)гладких расслоений в самом общем смысле наз. любой функтор тождественный по базе . Пусть канонпч. проекция группоида Т(Х)на свою базу , определяемая тем условием, что если Тем самым многообразие Вотождествляется с подмногообразием всех левых и правых единиц группоида . Пусть векторное расслоение над , образованное слоями вида расслоенное над Впространство р-скоростей многообразия В(элементами являются регулярные р-струи всевозможных гладких отображений с источником ). Расслоения и обладают ка-нонич. проекциями на касательное расслоение T(B)

Связность наз. нелинейной связностью порядка р=1, 2, 3, . . ., если рнаименьшее число, для к-рого функтор определяет гладкое отображение такое, что . Функтор в свою очередь определяется соответствующим ему отображением В случае, когда р = 1 и отображение послойно линейное, связность вырождается в линейную связность на категории К(Х). В изучении евойств Н. с. и в их классификации фундаментальную роль играют структурные уравнения отображений , записанные в форме уравнений Пфаффа, связывающих дифференциалы относительных координат геометрич. объектов, описывающих расслоения и . В терминах коэффициентов структурных уравнений с помощью операций их дифференциального продолжения и охватов установлено [2], что Н. с.в порождает линейную связность специальной структуры в главном G-расслоении над базой , и этой линейной связностью полностью характеризуется. Найдены формы указанной линейной связности и их структурные уравнения. Доказан нелинейный аналог теоремы о группе голономии, в определении к-рой участвуют не только кривизна, но и линейная оболочка распределения горизонтальных конусов, заменяющих в нелинейном случае подпространства горизонтального распределения линейной связности.

Лит.:[1] Вагнер В. В., "Тр. семинара по векторному и тензорному анализу", 1950, в. 8, с. 11-72; [2] Евтушик Л. Е., "Изв. ВУЗов. Математика". 1969, №2, с. 32-44; [3] его же, "Сиб. матем. ж.", 1973, т. 14, .№ 3, с. 536-48; [4] Евтушик Л. Е., Третьяков В. В., "Тр. геометр, семинара", 1974, т. 6, с. 243-55; [5] Кawagусhi A., "Tensor. New ser.", 1952, v. 2. p. 123-42.

Л. Е. Евтушик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985