Математическая энциклопедия - пластичности математическая теория

теория деформируемого пластичного твердого тела, в к-рой исследуются задачи, состоящие в определении полей вектора перемещений и( х, t).или вектора скоростей v(x,t), тензора деформации eij( х, t).или скоростей деформации vij(x, t).и тензора напряжений sij(x,t), к-рые возникают в теле, занимающем область W. с границей S, под действием массовых К( х, t).и поверхностных F(x, t).сил при заданных начальных и граничных условиях, а также в определении тех нагрузок и процессов, при к-рых равновесие (движение) тела является неустойчивым. Особенности П. м. т. состоят в том, что

а) соотношения sij~eij нелинейны и необратимы и описываются, вообще говоря, функционалами; следовательно, задачи П. м. т. существенно нелинейны;

б) конфигурации искомых квазистатич. полей определяются процессом изменения заданных функций на промежутке [0, t], а не их мгновенными значениями в момент t;

в) в процессе изменения функций К, F возникают области упругой деформации, активной пластич. деформации (нагрузки) и пассивной деформации (разгрузки), в к-рых соотношения sij~eij различны; эти области должны быть определены при решении задачи;

г) уравнения краевой задачи могут, вообще говоря, оказаться разных типов (эллиптического или гиперболического) в разных областях тела.

При произвольном сложном процессе известны лить весьма общие свойства функционалов пластичности, их явная аналитич. структура не установлена. Конкретные соотношения sij~eij, не содержащие явно функционалов, построены и экспериментально обоснованы для ряда типичных процессов деформации. Иногда рассматриваются также нек-рые искусственные "модели" соотношений sij~eij, к-рые лишь частично отражают упругопластич. свойства материалов. Статические краевые задачи. В теории упругопластич. процессов (см. [1]) согласно постулату изотропии А. А. Ильюшина соотношения sij~eij можно представить в виде

(1)

(суммирование по kот 1 до 6), где базис, построенный на основе тензора малой деформации, Akфункционалы от инвариантов тензора деформации, давления р, температуры Ти, возможно, других инвариантных величин немеханич. природы. Искомые функции и i( х, t),eij(x, t),sij(x, t).при равновесии удовлетворяют уравнениям

при заданных функциях и областях . Здесь lj - направляющие косинусы внешней нормали к граничной поверхности S; tпараметр процесса (напр., истинное или условное время); р плотность материала; (2) дифференциальные уравнения равновесия, (3) кинематич. соотношения между малыми деформациями и перемещениями, (5) и (6) граничные условия в напряжениях и перемещениях соответственно. Равенства (2) (6), строго говоря, не реализуют постановку краевой задачи, поскольку при неизвестной структуре функционалов пластичности нельзя решить вопрос о существовании решения.

С учетом этой неопределенности для решения задачи (2) (6), допуская ого существование при произвольном сложном нагружении (СН), предложен и в частных задачах реализован следующий метод СН-ЭВМ. Ниже система равенств (2), (3), (5), (6) будет наз. неполной системой (В). В связи с использованием ко-нечноразностной процедуры область Wразбивается на Nячеек (элементов), в каждой из к-рых искомые функции имеют постоянные (средние) значения, зависящие от параметра t(интересующий интервал времени [0, t]разбивается на Мшагов), и в v-й ячейке заменяются соотношения (4) аппроксимирующими соотношениями вида

(7)

где функции t, такими, что решение задачи (В), (7) существует. Пусть в первом приближении с конкретно заданными . (по возможности наиболее простым способом, напр. в соответствии с обобщенным законом Гука) функциями Cvk

(71)

решение задачи (В), (7) есть Определяемый по нему набор инвариантов вместе с и рассматривается как совокупность программ испытаний Nобразцов в однородном напряженном состоянии. Проведение их на испытательном комбайне класса СН дает истинные зависимости sij~eij в процессах , что

определяет уточненные аппроксимирующие соотношения

(72)

к-рые используются для численного решения задачи (В), (72) во втором приближении. Аналогично строятся последующие приближения. Сходимость оценивается по нормам разностей двух последующих приближений.

В отличие от применяемых вариантов теоретико-экспериментальных методов решения краевых задач с известными соотношениями (4), здесь используется испытание стандартных образцов в одномерном напряженном состоянии по стандартной методике, а не натурного объекта или его модели в сложном напряженном состоянии.

Предложен апостериорный критерий существования (см. [2]): если указанный процесс итераций сходится, то решение задачи (2) (6) (с неизвестной структурой функционалов Ak).существует и с заданной степенью точности определяется в n-м приближении.

Если соотношения (4) известны, но сложны, то этот метод также применим с использованием (4) вместо испытательного комбайна СН.

Сложности постановки и решения краевой задачи теории пластичности в общем случае существенно уменьшаются при рассмотрении конкретных классов процессов.

Степень сложности процесса деформации в точке тела определяется сопоставлением кривизн траектории деформации, к-рая в 5-мерном евклидовом пространстве изображает процесс изменения девиатора деформации , с типичной для каждого материала величиной следа запаздывания h, определяемой экспериментально. На этой основе выделяются частные классы процессов, для к-рых соотношения (4) конкретизируются и не содержат явно функционалов. Для каждого такого класса процессов постановка краевой задачи (2) (6) становится определенной, допускающей доказательство теорем существования и единственности и построение общих методов решения. При этом, однако, возникает проблема физич. достоверности решения, поскольку при заданных функциях Ki(x, t), Fi(x, t),ji(x, t).процессы, определяемые решением, могут не соответствовать области достоверности частного вида соотношения (4), принятого при постановке задачи. Эту проблему можно поставить как задачу об определении класса заданных функций Ki, Fi, ji и, может быть, ограничений на соотношения (4) частного вида, при к-рых система уравнений (2) (6), дополненная соотношениями, определяющими соответствующий класс процессов, совместна.

В теории малых упругопластич. деформаций (см. [3]), относящейся к процессам простой деформации (нулевой кривизны), соотношения (4) имеют вид

(8)

где интенсивность деформации, Ф экспериментально определяемая функция упрочнения, К - константа (модуль объемной упругости), При ограничениях

(9)

(l<1 число), приемлемых для конструкционных материалов, установлена эллиптич. природа краевой задачи (В), (8), доказаны теоремы существования и единственности решения, установлены минимальные принципы и даны соответствующие вариационные постановки задач. Доказана теорема о простом на-гружении, определяющая класс функций Ki, Fi, ji

(однопараметрич. нагрузки), при к-ром решение задачи физически достоверно. Для решении краевой задачи (В), (8) в принципе применимы методы Ритца и Бубнова Галеркина, к-рые, вследствие нелинейности задачи, малоэффективны. Широко используется метод упругих решений, сходящийся при условиях (9): в каждом последовательном приближении решается более простая краевая задача линейной теории упругости (см. [3]). При этом в ходе решения определяются области упругих деформаций, в к-рых имеет место обобщенный закон Гука. Применяется также метод переменных параметров упругости (см. [4]).

Постановка задачи (В), (8) и указанные методы решения применяются также к задачам термопластичности. При этом при температурном поле Т( х, t), определяемом решением задачи теплопроводности, в соотношениях (8) полагается и член заменяется выражением . Ввиду функциональной природы соотношений sij~eij использование функции Ф (eu, T) ограничено нек-рым классом тепловых процессов. Специальный интерес представляют задачи о циклич. нагружении тела (см. [5]), сопровождающемся периодич. возникновением областей разгрузки и нагрузки обратного знака.

В теории упругопластич. процессов малой кривизны (наибольшая кривизна значительно меньше h^-1).с соотношениями

(10) где

длина дуги траектории деформации, и с кинематич. уравнениями

(11)

где vi(x, t) - координаты вектора скорости частицы среды, ставится краевая задача (2), (10), (11), (5), (6), для к-рой доказаны теоремы существования и единственности, сформулированы вариационные принципы и предложен метод последовательных приближений. Условия физич. достоверности решения не выяснены. Эта задача формулируется, в частности, применительно к расчету установившегося пластич. течения упрочняющегося металла в технологич. процессах обработки давлением (прессование, прокатка и т. п.).

Аналогично ставится краевая задача для упругопластич. процессов средней кривизны (главная кривизна траектории деформации меньше или порядка h^-1).

Для теории двухзвенных процессов (траектория деформации ломаная с углом излома в при s=s0), типичных для двухпараметрич. нагружении тела, с соотношениями (8) при и соотношениями

(12)

при s>s0, где su, J известные функции от s0, q, s, дана постановка краевой задачи (В), (12) при s>s0 и (В), (8) при с доказательством теорем существования и единственности. Доказана локальная теорема физич. достоверности, определяющая достаточные условия, налагаемые на функции , при к-рых почти всюду в области W происходят изломы траекторий деформации. Свойства решений и материальных функций в окрестности точки излома существенны для решения задач об устойчивости равновесия при упругопластич. деформациях.

В современной теории течения для пластич. части тензора деформации из постулатов пластичности энергетич. типа выводятся соотношения вида

(13)

а для упругой части принимается обобщенный закон Гуна

где l, m, постоянные Ламе, причем функция нагру-жения f является функционалом процесса нагружения sij(t), а функция упрочнения H, кроме того, зависит от приращений Dsij. Чаще всего предполагается, что Нне зависит от Dsij. При этом линеаризованные по приращениям соотношения (13) позволяют строго формулировать краевую задачу типа (В), (13) с доказательством ряда общих теорем и минимальных принципов (см. [6]); разработаны процедуры численно-аналитич. решения. Преимущество простоты, даваемое линеаризацией соотношений (13), серьезно ослабляется ограниченностью области, в к-рой линеаризованные соотношения физически достоверны.

В П. м. т. часто используется постановка краевой задачи на основе теории пластичности Прандтля Рейса, к-рая описывается соотношениями

где G, К - константы упругости, R функция от . Область достоверности этих соотношений ограничена (точно не определена).

Развита теория идеально пластич. тел (см. [7], [8]), основанная на физич. соотношениях Сен-Венана Леви Мизеса. Эти соотношения формально получаются из соотношений малой кривизны (10), если в них положить Ф(s).ss=const (ssпредел текучести материала) и принять условие несжимаемости:

(14)

Понятие идеальной пластичности подразумевает, кроме того, соблюдение в области активных пластич. деформаций условия текучести вида

(15)

напр, условия Генки Мизеса , , или условия Треска Сен-Венана tmax=ts, где tmaxнаибольшее касательное напряжение, ss,ts - константы материала.