Математическая энциклопедия - плато многомерная задача

термин, обозначающий серию задач, связанных с изучением экстремалей и глобальных минимумов функционала k-мерного объема , определенного на k-мерных обобщенных поверхностях, вложенных в n-мерное риманово пространство М ^п и удовлетворяющих тем или иным граничным условиям.

В истории развития указанной вариационной задачи (см. Плато задача).выделяются несколько периодов, характеризующихся различными подходами к понятиям "поверхности", "границы", "минимизации" и, соответственно, методами получения минимального решения. Многомерная задача Плато формулируется так. Пусть фиксированное замкнутое гладкое (k-1)-мерное подмногообразие в римановом пространстве М ⁿ и пусть Х(А) - класс всех таких пленок (поверхностей) , имеющих границей многообразие А, причем каждая пленка допускает непрерывную параметризацию (представима в виде образа нек-рого многообразия с краем), т. е. X=f(W), где Wнек-рое k-мерное многообразие с краем дW, гомеоморфным непрерывное отображение, совпадающее с фиксированным гомеоморфизмом па крае дW, то есть Вопрос: можно ли найти в классе X(А).пленку , к-рая была бы в каком-либо разумном смысле минимальной, напр. чтобы ее k-мерный объем был наименьшим по сравнению с k-мерными объемами других пленок X из этого же класса? Оказалось, что перенесение классич. "двумерных" методов на многомерный случай наталкивается на серьезные трудности. Это привело к тому, что классич. постановка П. м. з. была на время оставлена и задача была сформулирована в иных (гомологических) терминах. Если отбросить понятие многообразия-пленки с краем дW=A и сильно расширить понятие пленки и ее границы, ослабив связь пленки с ее границей (в частности, если рассматривать непараметризованные пленки), отбросив условие X=f(W), то П. м. з. может быть сформулирована на языке обычных целочисленных гомологии H*: найти минимальную пленку Х 0, аннулирующую фундаментальный цикл многообразия А(в предположении, что Аориентируемо), т. е. i*[A]=0, , где i* - гомоморфизм, индуцированный вложением . Для решения П. м. з. в этой новой расширенной постановке был разработан (см. [1], [2]) геометрич. подход, при к-ром минимизировался функционал k-мерной хаусдорфовой меры (объема), определенный на k-мерных измеримых компактах (поверхностях) в М ⁿ, и развита (см. [3], [4]) теория интегральных потоков и варифолдов, носителями к-рых являются k-спрямляемые подмножества в М ⁿ. Однако указанное расширение понятия границы пленки в терминах гомологии H* (то есть k-1-мерное многообразие Асчитается границей k-мерной пленки W, если при вложении фундаментальный цикл [А]аннулируется) означает отход классич. постановки П. м. з., так как, располагая теоремой существования минимального решения в гомологич. классе Х(А), по-прежнему ничего нельзя сказать о существовании минимального решения в классе всех пленок, являющихся непрерывными образами многообразий с краем, т. е. допускающих параметризацию. Дело в том, что если многообразие Агомологично нулю (как цикл) в пленке Х 0, то Х 0 не обязательно допускает представление в виде X0=f(W0), где W0 - нек-рое k-мерное многообразие с краем.

В классич. постановке, т. е. в терминах пленок вида X=f(W), где Wсуть k-мерные многообразия с краем А, П. м. з. была решена (см. [5], [6]). При этом было замечено, что классическая П. м. з. допускает эквивалентную формулировку на языке бордизмов. Пусть Vесть (k-1)-мерное компактное ориентированное замкнутое многообразие, непрерывное отображение; пара (V, f) наз. сингулярным бордизмом М ^п, Два бордизма (V1, f1) и (V2, f2) наз. эквивалентными, если существует k- мерное ориентированное многообразие Wс краем (где V2 означает V2 с обратной ориентацией) и непрерывное отображение такое, что . Бордизм (V, f) эквивалентен нулю, если . Классы эквивалентности сингулярных бордизмов образуют абелевы группы, к-рые после выполнения процесса стабилизации образуют одну из обобщенных теорий гомологии (теорию бордизмов). П. м. з. формулируется (на этом языке) так: а) можно ли среди всех пленок и обладающих тем свойством, что сингулярный бордизм (A, i).(где вложение) эквивалентен нулю в X, найти Х 0 с наименьшим объемом б) Можно ли среди всех сингулярных бордизмов (V, g).(где ), эквивалентных данному бордизму (V', g'), найти такой бордизм (V0, g0), чтобы объем пленки был бы наименьшим? Положительный ответ на эти вопросы см. в [5], [6], [13].

Классическая П. м. з. значительно отличается от ее гомологич. варианта. На рис. 1 показаны контур A = S¹ и пленка X, стремящаяся занять в R³ положение, соответствующее наименьшей площади. В нек-рый момент наступит склейка, схлопывание пленки, в результате чего вместо двумерной трубки Тпоявится одномерный отрезок Р.

В двумерном случае отрезок Рможет быть непрерывно отображен в двумерный диск, заклеивающий А. В многомерном случае описанный эффект появления у минимальной пленки зон меньших разномерностей присутствует еще в большей степени, причем если в двумерном случае все такие куски Р,, можно было отобразить без потери параметризующих свойств пленки Х 0 в k-мерную (двумерную) часть этой пленки, то при k>2 эти зоны меньшей размерности, в общем случае, неустранимы (если мы хотим сохранить топологич. свойство пленки Х 0, аннулирующей бордизм (A, i)). В силу тех же причин зоны меньшей размерности не могут быть отброшены, так как k-мерная часть пленки Xможет вообще не допускать непрерывной параметризации и, тем самым, вообще говоря, не аннулирует бордизм (A, i). Это показывает необходимость введения стратифицированного объема пленки X, составленного из объемов всех ее зон Х ⁽ⁱ⁾, то есть (, ). Теорема, являющаяся решением П. м. з., формулируется так (см. [5], [6]): существует глобально минимальная поверхность, минимизирующая стратифицированный объем.

Следствие: для любого фиксированного (k-1 )-мерного ориентированного гладкого замкнутого подмногообразия Ав римановом пространстве М ⁿ (в том случае, когда ) существует глобально минимальная поверхность X0=f0(W0), аннулирующая бордизм ( А, i).(в частности, k-мерный объем пленки Х 0 не больше /с-мерного объема любой пленки вида X=f(W)), см. [5], [13]. Более того, пленка Х 0 минимальна в каждой своей размерности ; если Х ^(S) - часть пленки X, имеющая размерность s, то Х ^(S) содержит подмножество Z^(S), s-мерный объем к-рого равен нулю, а дополнение X^(S)^(S) является открытым "-мерным всюду плотным в Х ^(S) аналитич. одмногообразием в М ⁿ. Здесь Z^(S) множество сингулярных точек в размерности s.

Этот результат является частным случаем общей теоремы существования и почти всюду регулярности глобально минимальной поверхности, доказанной (см. [5], [6], [13] для любой обобщенной теории (кад)гомологией и для любого набора краевых условий. Кроме того, такая поверхность существует и в каждом стабильном гомотопич. классе. Вот пример вариационной задачи, сформулированной и получившей решение в когомологич. терминах. Пусть x стабильно нетривиальное векторное расслоение на компактном римановом пространстве М ^п;пусть Х(x) класс всех таких поверхностей , что ограничение x|X. расслоения x на Xстабильно нетривиально (т. е. X - носитель x). Тогда всегда существует глобально минимальная поверхность , имеющая наименьший объем в классе Х(x). Общая теорема существования может быть сформулирована и доказана также и на языке интегральных потоков, для чего следует ввести фильтрованные потоки, состоящие из потоков различных размерностей. На этом пути было затем получено решение П. м. з. в классах гомотопий [14].