Математическая энциклопедия - пограничного слоя теория

асимптотическое приближение решения граничных задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных (сингулярных задач) в подобластях с существенным влиянием членов со старшими производными на решение. Явление пограничного слоя (п. с.) возникает в узких зонах вблизи частей границы, на к-рых существует различие между числом граничных условий исходной и вырожденной (при нулевом значении параметра малости) задач, а также вблизи поверхностей разрыва решения вырожденной задачи.

Решение сингулярных задач представимо суммой двух разложений. Внешнее разложение дает метод малого параметра с частью В 0 граничных условий B=B0+B1 задачи. Внутреннее разложение быстро убывает вне п. с. и отыскивается, как правило, в виде многочленов по степеням е. Для их определения дифференциальные уравнения преобразуются к переменным, зависящим от е и растягивающим подобласти пограничного слоя. Уравнения п. с. возникают в результате приравнивания нулю коэффициентов при различных степенях е после подстановки многочленов в преобразованные уравнения. К ним добавляются условия В 1. Оценка погрешности внешнего разложения, если она найдена, показывает необходимую замену переменных. При решении сложных прикладных задач необходимая замена переменных может быть выявлена на основе физич. оценки величин членов исходных уравнений и соответствующих им упрощений и должна освободить старшие производные от e. Для решения задачи необходимо определить, где расположены п. с. и как условия Вразделяются на В 0 и В 1. Своеобразие такого решения заключается в том, что исходным эллиптич. уравнением могут отвечать гиперболич. уравнения внешних разложений и параболические внутренних разложений.

В теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений

(1)

где xи f суть m-мерные, а уи gсуть n-мерные векторные функции, для задачи Копти с условиями х(0, e)=х ⁰, у(0,e)=y⁰ и определенными свойствами f и gдоказана теорема существования и единственности решения и установлены свойства решения при (см. [1]). В случае краевой задачи для уравнения (1) с условиями

где сумма числа компонент векторов у, и г/2 равна п, существуют, вообще говоря, п. с. в окрестностях концов сегмента [О, Т]. Построен алгоритм нахождения асимптотики решения этой задачи, при определенных свойствах функций f и gдоказано существование и единственность решения и даны его оценки (см. [3]). В случае неединственности решения предельного уравнения g=0 относительно упостроен внутренний (в окрестности t, 0<t<T) п. с., разделяющий области с различными решениями предельного уравнения. Для одного типа интегро-дифференциального уравнения построен алгоритм асимптотич. разложения по е задачи с начальными условиями и исследованы нек-рые особенности поведения решений.

В случае линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (L+eM)x=f(t),, где Lи М - дифференциальные операторы, с граничными условиями B0+B1 выделен класс задач, решение к-рых содержит п. с., и введено понятие регулярного вырождения, при к-ром решение предельного уравнения позволяет удовлетворить условиям В 0, а асимптотич. решение для п. с.условиям B1 (см. [4]). Построен итерационный процесс асимптотич. представления решения и даны оценки остаточных членов разложений.

В П. с. т. общего нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка при определенных предположениях доказано (см. [5]), что решение 1-й краевой задачи складывается из внешнего решения, п. с. и остаточного члена, имеющего с 1-й производной порядок e на всем сегменте.

Изучено поведение решений краевых задач основных типов для линейного уравнения счастными производными вида

где D оператор Лапласа, в области Dс границей S. Построены условия на функции А, В, С, f, границу Sи функции а, j точки Рлинии S, входящие в граничное условие и п+а (Р).j(Р), при к-рых ив D+S равномерно стремится к решению предельного уравнения с приведенным граничным условием на определенной части S(отсутствие ц. с.) (см. [6]).

Для эллиптич. уравнения 2-го порядка в области Dс границей S на примере двух независимых переменных

построены итерационные процессы решения задачи с условием u=0 на S, доказаны теоремы о структуре разложения ипо e и даны оценки остаточного члена этого разложения (см. [4]). Аналогичные результаты получены и для уравнений высших порядков.

Разработан (см. [7]) метод сращивания асимптотич. разложений для уравнения

в прямоугольнике с заданным ина его границе.

Исследования П. с. т. для нелинейных уравнений с частными производными связаны в основном с аэрогидродинамикой и базируются на уравнениях Навье Стокса и их обобщениях. Запросы практики привели как к развитию математич. теории, так и к возникновению различных задач и методов их решения. Здесь речь будет идти только о ламинарных течениях (см. [8] [10]).

Гидродинамика плоских (k=0) и осесимметричных (k=1) течений несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости v описывается уравнениями Навье Стокса

(2)

где число Рейнольдса, представленное через характерные величины скорости wи линейного размера X. На замкнутой границе Sобласти Dрешения задаются краевые условия, причем на обтекаемом контуре Г при h=H(x) задаются условия

, где касательная и нормальная к Г составляющие вектора ( и, v). В D+S задаются начальные значения u, v, p.

При малом e асимптотич. решение задачи в первом приближении составляется из решения уравнений (2) при e=0 с частью условий на S(на Г ставится только условие v=v0) и решения уравнений п. с. Уравнения динамического п. с. выводятся в предположении, что условная толщина п, с. d и величина vимеют порядки , а члены левых частей последних уравнений из (2) имеют порядок членов с e². Введение переменных приводит при к уравнениям Прандтля

с условиями

при

где r расстояние от оси симметрии при k=1, W (х) - известная функция. Эти уравнения и условия справедливы для любого криволинейного контура, радиус кривизны к-рого много больше d. В последнем случае x, укоординаты вдоль контура и по нормали к нему.

При постоянном Wзадача сводится к краевой для обыкновенного дифференциального уравнения. Имеются и другие классы подобных решений.

Известны условия, при к-рых решения задач п. с. существуют, исследованы вопросы единственности и устойчивости решений и их выхода на решения стационарных задач (см. [11]). Решения строятся по методу прямых, доказана их сходимость.

Уравнения п. с. для сжимаемой жидкости выводятся из уравнений для течений вязкого и теплопроводного газа и значительно более сложны, чем (3). Возрастает и их количество. Имеется интегральное преобразование, упрощающее эти уравнения в общем случае и сводящее их к (3) при числе Прандтля Pr=Cp/K=1, где С ртеплоемкость газа при постоянном давлении, Ккоэффициент теплопроводности (см. [12]). Известен ряд модификаций преобразования. В общем случае уравнения п. с. описывают т. н. естественные конвективные течения. Если v не зависит от температуры и архимедова сила пренебрежимо мала, то уравнение энергии отделяется от системы уравнений п. с. и говорят о вынужденных конвективных течениях. Уравнение энергии определяет тепловой п. с., толщина к-рого отличается от d.

П. с. возникают и в зоне раздела течений с различными характерными скоростями. Ударные волны также являются п. с.

Отдельный класс двумерных задач п. с. связан с течениями у вращающихся осесимметричных пластин и тел.

Вместе с развитием методов решения нестационарных задач решены задачи с периодическим W, при движении скачком из состояния покоя, при ускоренном движении, для п. с. за ударной волной, при переменной температуре обтекаемой поверхности.

В П. с. т. трехмерных течений развиты методы решения задач и рассмотрены случаи, приводящие к упрощению уравнений. Уравнения п. с. на скользящем цилиндрич. крыле бесконечного размаха аналогичны уравнениям двумерного п. с. В приближенной постановке решены задачи п. с. на вращающейся цилиндрич. лопасти пропеллера и на вращающемся цилиндре в косо набегающем потоке, а также задача п. с. вблизи линии пересечения двух плоскостей.

Перечисленные исследования п. с. в аэрогидродинамике относятся к первому приближению П. с. т. Высшие приближения позволяют проводить исследования взаимодействия п. с. с внешним потоком, а также расчеты при умеренных числах R(см. [13]).