Математическая энциклопедия - погруженных многообразий геометрия

теория, изучающая внешнюю геометрию и связь между внешней и внутренней . геометрией подмногообразий евклидова или риманова пространства. П. м. г. является обобщением классич. дифференциальной геометрии поверхностей в евклидовом пространстве . Локально внутренняя и внешняя геометрии погружения многообразия обычно описываются соответственно с помощью первой и второй квадратичных форм. Для погружений m-мерного многообразия М ^т в многообразие Nⁿ существует понятие эквивалентности (см. Погружение многообразия). В П. м. г. изучаются свойства, одинаковые у эквивалентных погружений, т. е. свойства поверхности F^m, определяемой погружением f. В связи с этим в геометрических вопросах погружение и поверхность не различаются. Погружение f индуцирует отображение касательных расслоений.

Первая квадратичная (фундаментальная) формам поверхности Fопределяется на ТМ ^т равенством

где риманова метрика в Nⁿ. Здесь и далее векторы не различаются в обозначениях с их образом df(X). Квадратичная форма gопределяет на М ^т структуру риманова пространства. ; свойства составляют предмет внутренней геометрии поверхности F. Если {x^k}, {у^a}, k=1,...,т,a=1,..., п, локальные координаты в М ^т и Nⁿ, то погружение f задается параметрич. уравнениями . В локальных координатах

где {Xⁱ},{Y^j} координаты векторов X, Y,

а компоненты метрич. тензора риманова пространства Nⁿ.

К внутренней геометрии поверхности Fпринадлежат такие понятия, как длина кривой, объем области, связность Леви-Чивита внутренней метрики, ее преобразования кривизны R(X, Y)Zи т. д. Относящиеся сюда вычислит, формулы см. в ст. Риманова геометрия.

Вторая (фундаментальная) форма Нопределяется равенством

где связности Леви-Чивита на Nⁿ, М ^т соответственно. Фактически Нзависит не от векторных полей X, Y, а лишь от их значений в точке ри является билинейным симметричным отображением

где vM^m нормальное расслоение М ^т в Nⁿ. Для каждого единичного вектора равенства <Н( Х, Y),x>p = Ax(X, Y)p = <Ax(X), Y> р определяют вторую квадратичную форму hx и второй фундаментальный тензор Ax. В локальных координатах компоненты hij(x) формы hx имеют вид

где {xb} координаты вектора x.

Для формы hx обычным образом (т. е. так же, как для поверхности в евклидовом пространстве R³) определяют главные кривизны, главные направления (зависящие от x) и другие связанные с ними понятия.

Исходя из элементарных симметрия, функций, можно строить различные функции главных кривизн. Таковы, напр., средняя кривизна

где {xi} ортонормированный набор нормалей, а Ki(x) главные кривизны формы hi;кривизна Чжэня Лашофа

где wl; объем сферы S^l;длина второй основной формы

(см. [1] [3]).

Значение первой и второй квадратичных форм поверхности в точке ропределяет ее вблизи рс точностью до бесконечно малых 2-го порядка. Каждому , соответствует соприкасающийся параболоид. (Для поверхности в евклидовом пространстве это соприкасающийся параболоид для проекции поверхности на (m+1)-плоскость, определяемую ( ТМ ^т) р и x.) При т=п-1 (т. е. в случае гиперповерхности) форма hx единственна с точностью до знака. В этом случае вторые фундаментальную и квадратичную формы не различают, и теория приобретает большое сходство с классич. теорией поверхностей в .

Основные уравнения. Коэффициенты первой и второй квадратичных форм не являются независимыми. Они связаны уравнениями Гаусса и Петер-сона Кодацци Майнардя.

Уравнения Гаусса

выражают преобразование кривизны поверхности Fчерез преобразование кривизны Nⁿ и коэффициенты квадратичных форм (здесь скобка Пуассона). Инвариантная форма уравнений Петерсона Кодацци Майнарди связана с понятием риманова расслоения над . Расслоение Е(l) l -мерных плоскостей над римановым многообразием наз. римановым, если в Е(l).задана риманова метрика и риманова (т. е. согласованная с метрикой) связность Билинейное g-симметричное отображение

наз. вторым фундаментальным тензором в Е;равенство

определяет вторую фундаментальную форму в Е, ассоциированную с Ax. Уравнения

(2)

(3)

где форма кривизны связности D, наз. уравнениями Петерсона Кодацци -Майнарди. Уравнения (3) часто наз. уравнениями Риччи (координатную запись уравнений (2) (3) см. в [1]). Уравнения (2) (3) всегда выполнены, если Е(l) - нормальное расслоение М ^т в Nⁿ и DXx равно проекции на (vМ ^т) р.

Имеется следующее обобщение Бонне теоремы (см. [2]). Пусть Е(l) - риманово расслоение над односвязным и пусть на Е(l).задан второй фундаментальный тензор А x. Если при этом выполняются соотношения (1) (3), то существует изометрич. погружение в евклидово пространство с нормальным расслоением Е(l). Такое погружение единственно в следующем смысле: если f, f' изометрич. погружении в с нормальными расслоениями Е, Е', оснащенными, как и выше, и нек-рая изометрия накрывается отображением , согласованным с оснащенным, то существует такая изометрия Ф пространства , что

Классы погружений. Многомерная П. м. г. возникла и долгое время развивалась как теория существования изометрич. погружений римановых многообразий как правило в , реже в пространство постоянной кривизны К(см. Изометрическое погружение). Что касается внешне геометрич. сврйств и связей между внешней и внутренней геометрией поверхностей, то она подробно изучена только для двумерных поверхностей в . В этом случае существует классификация точек поверхности, с помощью к-рой двумерные поверхности разбиваются на классы: выпуклые поверхности, седловые поверхности и развертывающиеся поверхности. Именно эти классы являются основным объектом изучения в дифференциальной геометрии в целом. В многомерном случае такая классификация точек поверхности неизвестна (1983). Известны только нек-рые классы многомерных поверхностей: k-выпуклые, k-седловые и k-развертывающиеся.

k- выпуклые поверхности. Поверхность F^m в наз. k-выпуклой, если для каждой точки существует нормаль , для к-рой hp(x).положительно определена, и для любого k-мерного направления найдется в sk двумерное направление s2 такое, что hp(x)(X, Y)>0 (либо hp(x)(X, Y)0) для каждого , при

. 2-выпуклая поверхность F^m в есть выпуклая гиперповерхность в (см. [4]). Внутренняя метрика k-выпуклой поверхности обладает следующим свойством: в каждой точке рдля каждого k-мерного направления sk касательного пространства найдется двумерное направление , в к-ром риманова кривизна строго положительна.