Математическая энциклопедия - потенциальное поле

градиентное поле,векторное поле, образованное градиентами гладкой скалярной функции f(t). нескольких переменных t=(t¹, ... , tⁿ), принадлежащих нек-рой области Т n -мерного пространства. Функция f(t). наз. скалярным потенциалом (потенциальной функцией) этого поля. П. п. вполне интегрируемо в Т: Пфаффа уравнение(grad f(t), dt) = 0 имеет в качестве ( п-1)-мерных интегральных многообразий линии (n=2) или поверхности (п 3) уровня потенциал а f(t). Любое регулярное вполне интегрируемое в Т кова-риантное поле v=(v1, v2,... , vn).получается умножением П. п. на скаляр:

Скаляр 1/c(t).наз. интегрирующим множителем уравнения Пфаффа (v(t), dt)=0. Признаком потенциальности поля va(t)(c(t)=1).служат равенства

означающие, что поле v(t).является безвихревым (см. Вихрь).

Понятие П. п. широко используется в механике и физике. Большинство силовых и электрич. полей можно рассматривать как П. п. Напр., если f(t).выражает давление в точке tидеальной жидкости, заполняющей область Т, то вектор F=-grad f^. dw равен равнодействующей сил давления, приложенной к элементу объема dw. Если f(t) - температура нагретого тела Тв точке t, то вектор F= -k ^.grad f, где k - коэффициент теплопроводности, равен плотности теплового потока, идущего в сторону менее нагретых участков тела (в направлении, ортогональном изотермич. поверхностям

f= const). Л. П. Купцов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985