Математическая энциклопедия - потенциала теории обратные задачи

-задачи, в к-рых требуется найти форму и плотности притягивающего тела по заданным значениям внешнего (внутреннего) потенциала этого тела (см. Потенциала теория). В другой постановке одна из таких задач состоит в отыскании такого тела, чтобы его внешний объемный потенциал заданной плотности совпадал вне этого тела с заданной гармонич. функцией. Первоначально П. т. о. з. рассматривались в связи с задачами теории фигуры Земли и небесной механики. П. т. о. з. связаны с задачами фигур равновесия вращающейся жидкости и задачами геофизики.

Центральное место в исследовании П. т. о. з. составляют проблемы существования, единственности, устойчивости, а также создание эффективных численных методов их решения. Теоремы существования решений в малом имеются для случая тела, близкого к данному, но при этом имеются значительные трудности в исследовании уравнений, как правило, нелинейных, к к-рым сводятся эти задачи. Критериев существования глобальных решений нет (1983). Во многих случаях существование глобальных решений предполагается заранее, что естественно во многих приложениях, и исследуются проблемы единственности и устойчивости. Одним из основных моментов в исследовании проблемы единственности является выявление дополнительных условий на решения, обеспечивающих их единственность. С проблемой единственности связана проблема устойчивости. Для задач, записанных в виде уравнения 1-го рода, вообще говоря, сколь угодно малым вариациям правой части могут соответствовать конечные вариации решений, т. е. эти задачи относятся к некорректно поставленным задачам. Для того чтобы задача стала корректной, накладывается ряд дополнительных ограничений на решения; при этих ограничениях получаются различные характеристики отклонения решения в зависимости от отклонения правой части.

Ниже сформулированы обратные задачи ньютонова (объемного) потенциала и потенциала простого слоя для уравнения Лапласа в трехмерном евклидовом пространстве , хотя указанные задачи исследуются и в n-мерном (n>2) евклидовом пространстве для потенциалов общих эллиптич. уравнений (см. [7]).

Пусть Т a,a1,2,односвязные ограниченные области с кусочно гладкими границами Sa;

ньютонов потенциал;

потенциал простого слоя, где | х-у| - расстояние между точками х=(x1, х 2, х 3). и у=( у 1, у 2, у 3).в , почти всюду в Ta(Sa). И пусть

где b, g действительные числа,

Общая внешняя П. т. о. з. состоит в нахождении формы и плотности притягивающего тела по заданным значениям внешнего потенциала Z(x). Для получения условий единственности решения этой задачи она формулируется следующим образом: найти такие условия для областей Т a и плотностей ma, za, чтобы из равенства внешних потенциалов Z1(x) и Z2(x).

(1)

следовало равенство . Если множество состоит из одной компоненты, то условие (1) выполняется, когда Z1(x)=Z2(x).для |x|>R, где R достаточно большое, или когда на границе шара |x|=R задаются данные, обеспечивающие совпадение Z1(x).и Z2(x).вне этого шара. В качестве таких данных могут быть выбраны данные Дирихле на всей границе шара либо данные Коши на куске границы шара и т. д. В дальнейшем для простоты считается, что множества

состоят из одной компоненты.

Решение общей внешней П. т. о. з. единственно, если

, а области Т a контактны, т. е. такие, что для каждого из множеств Т' и Т " существует общий участок S*(mes S*0) границ Sa, причем .

П. т. о. з. для ньютоновых потенциалов получается, когда в (1) b=1 и g=0. Пусть Т a, a=1, 2,- области, звездные относительно общей точки, а функции ma (у).имеют вид ma (у).dav(у), где da=const, v>0 и не зависит от r= | у|. Если ньютоновы потенциалы удовлетворяют условию (1) и, кроме того, существует точ-ка такая, что U1( х 0)= U2(x0), то Т 1=Т 2, m1=m2.

Если в условиях (1) положить , то получается задача об определении формы притягивающего тела по известным значениям внешнего ньютонова потенциала U(х).заданной плотности. Решение этой задачи единственно в классе областей Т a, звездных относительно общей точки, в случае заданных плотностей m(y), монотонно неубывающих с ростом |у|.

Если в условиях (1) положить , то получается задача об определении формы притягивающего тела по известным значениям внешнего потенциала простого слоя V(х).заданной плотности z. Для выпуклых тел постоянной плотности решение этой задачи единственно.

Если в условиях (1) положить , то получается задача об определении плотности притягивающего тела по известным значениям внешнего ньютонов потенциала. Решение задачи единственно, если функции ma(y) имеют вид , где

Общая внутренняя П. т. о. з. состоит в нахождении формы и плотностей притягивающего тела по заданным значениям внутреннего потенциала Z(x). Для получения теорем единственности используется следующая формулировка этой задачи: найти условия для областей Т a и плотностей ma, za, чтобы из совпадения внутренних потенциалов Z1(x).и Z2(x).

Z1(x) = Z2(x).для (2)

следовали равенства

Если в условиях (2)., то в классе выпуклых тел переменной положительной плотности решение единственно. Если же в условиях (2).const, то в классе выпуклых тел решение также единственно.

Пусть ищется тело Ттакое, что его внешний ньютонов потенциал U(х; Т 1,m). данной плотности m(х). равен вне тела T1 заданной гармонич. функции Н(х). Н(х)..0 при | х|. и H(х).близка в смысле нек-рой функциональной метрики к внешнему ньютонову потенциалу U(х; Т,m). заданного тела Тплотности m. Для односвязных областей Тс гладкой границей Sпри условии решение задачи существует и единственно.

Внутренняя задача ставится аналогично внешней, причем Н(х).является решением неоднородного уравнения Лапласа в конечной области

Ищется тело T1 такое, что для