Математическая энциклопедия - потенциалов метод

метод исследования краевых задач для уравнений математич. физики путем сведения их к интегральным уравнениям, основанный на представлении решений этих задач в виде (обобщенных) потенциалов.

Пусть в пространстве , задано дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка эллиптич. типа

с достаточно гладкими коэффициентами а ij=а ji=aij(x). ei=ei(x), c(x)0 и правой частью f(x), причем с(x)<-k²<0 вне нек-рой ограниченной области, содержащей внутри область Dкласса C¹. Тогда любое решение и(х).уравнения (1) класса можно представить в виде суммы трех (обобщенных) потенциалов: потенциала объемных масс

(2) потенциала простого слоя

(3) и потенциала двойного слоя

(4)

где S=дD - граница области D, Е( х, у) главное фундаментальное решение оператора L, символ Qy обозначает оператор

действующий в точке , N - единичный вектор конормали в точке ,

v единичный вектор внешней нормали к Sв точке . Плотности потенциалов r(y), s(у).и m(у) - достаточно гладкие функции на Dили S.

Для потенциалов (2) (4) остаются в силе, с соответствующими изменениями, все дифференциальные и граничные свойства гармонич. потенциалов, описанные в ст. Потенциала теория для случая, когда L - оператор Лапласа. На основании этих свойств удается свести краевые задачи для эллиптич. уравнений типа (1) к интегральным уравнениям, аналогично тому, как это было описано для задач Дирихле и Неймана для гармонич. функций в ст. Потенциала теория.

Лит.:[1] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [2] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; [3] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М.,. 1981; [4] Купрадзе В. Д., Методы потенциала в теории упругости, М., 1903; [5] Милн Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985