Математическая энциклопедия - продолжений и охватов метод

метод исследования различных дифференциально-геометрич. структур на гладких многообразиях и их подмногообразиях. В основе П. и о. м. лежат дифференциалъно-алгебраич. критерии операций, позволяющих в инвариантной (безкоординатной) форме присоединять к данной структуре внутренне связанные с ней структуры, в том числе и их дифференциальные инварианты. Исторически П. и о. м. возник вслед за методом подвижного репера как инвариантный метод исследования подмногообразий однородных пространств или пространств со связностью. Впоследствии П. и о. м. был распространен на геометрию произвольных расслоенных пространств. В отличие от главной цели метода подвижного репера построения канонич. поля реперов и дифференциальных инвариантов изучаемой структуры путем последовательного сужения соответствующих главных расслоенных пространств, П. и о. м. ставит целью построение инвариантов и инвариантно присоединяемых структур без сужения главных расслоений реперов. В необходимых случаях П. и о. м. включает и процесс канонизации репера.

Пусть Gгруппа Ли и К(G).класс всех G-пpoстранств с левосторонним действием группы Ли Gна них как группы преобразований. G-oхватом наз. такое гладкое сюръективное отображение

что для любого коммутативна диаграмма

где lg и преобразования G-пространств Хи Yсоответственно, определяемые элементом g. В этом случае говорят, что пространство Yс помощью f охвачено пространством Xили пространство Xявляется продолжением пространства Y. Класс К(G).становится категорией с морфизмами G-охватами. Примеры G-охватов.

1) Пусть пространство тензоров типа . Охватом является отображение свертки

Полная свертка тензоров пространства Т( р, р)

является примером охвата инварианта.

2) Если , то XX Yс помощью prX и рrY охватывает Xи Yсоответственно. Иными словами, XX Yявляется продолжением как X, так и Y.

Понятие охвата естественным образом распространяется на классы расслоенных пространств, присоединенных к главным расслоениям. Пусть p : Р( М, Н) М - главное расслоенное пространство со структурной группой Н, действующей на Рправым образом, и любое левое H-пространство. Объектами класса К(Р).присоединенных к Ррасслоенных пространств являются пространства типа

где факторизация подразумевается по следующему правому действию группы Нна PX F:

Пространство является расслоенным над базой Мпространством с типовым слоем F. Элемент , определяемый парой , записывают в виде . Если и отображение H-охвата, то в силу конструкций F(P).и Ф(Р) f индуцирует послойное сюръективное отображение , называемое Р- охватом. Р- охват f определяется по закону:

Таким образом, класс К(Р).присоединенных к Ррасслоенных пространств является категорией с морфизмами типа Р-охватов . Соответствие является биективным функтором категории К(Н).на категорию К(Р). Следовательно, достаточно изучать операции охвата в категориях H-пространства.

Если сечение расслоенного пространства F(P).(поле геометрического объекта типа F), то Р-охват присоединяет к сечению s сечение охваченного расслоения Ф(Р); иными словами, поле геометрич. объекта , охватывает поле геометрич. объекта . Если s(x) - структурный объект нек-рой G-структуры, то изучение G-структуры и ее инвариантов сводится во многом к отысканию охватываемых геометрич. объектов. В процессе отыскания охватываемых геометрич. объектов важную роль играют дифференциальные критерии охватов, формулируемые в терминах структурных дифференциальных форм расслоенных пространств и составляющие основу П. и о. м.

Лит.:[1] Лаптев Г. Ф., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1953, т. 2, с. 275-382; [2] его же, в кн.: Тр. Третьего Всесоюзного матем. съезда. Москва, 1956, т. 3, М., 1958, с. 409-18.

Л. Е. Евтушик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985