Математическая энциклопедия - продолжения теоремы

в аналитической геометрии утверждения о продолжении функций, сечений аналитич. чков, аналитич. чков, аналитич. одмножеств, голоморфных и мероморфных отображений с дополнения ХA в аналитич. ространстве Xк подмножеству А(как правило, тоже аналитическому) на все пространство X. Классич. результатами о продолжении функций являются две теоремы Римана.

Первая теорема Римана утверждает, что всякая аналитич. ция на ХА, где Xнормальное комплексное пространство, а Аего аналитич. одмножество коразмерности , продолжается до аналитич. ции на всем X. Вторая теорема Римана утверждает, что всякая аналитич. ция f на ХA, где Анигде не плотное аналитич. одмножество нормального комплексного пространства X, локально ограниченная на X, продолжается до аналитич. ции на всем X. Существуют обобщения этих теорем на произвольные комплексные пространства X, а также на сечения когерентных аналитич. чков (см. Локальные когомологии).

Важнейшими результатами о продолжениях аналитических подмножеств являются теорема Реммерта Штейна Шифмана и теорема Бишопа. Теорема Реммерта Штейна Шифмана утверждает, что всякое чисто р-мерное комплексное аналитич. одмножество в Х А, где X - комплексное аналитич. многообразие, а Аего замкнутое подмножество, имеющее нулевую (2р-1)-мерную меру Хаусдорфа, продолжается до чисто р-мерного комплексного аналитич. одмножества во всем X. Теорема Бишопа утверждает, что всякое чисто р-мерное комплексное аналитич. одмножество Vв XA, где X - комплексное аналитич. многообразие, а A его комплексное аналитич. одмножество, продолжается до чисто р-мерного комплексно аналитич. одмножества во всем X, если Vимеет локально конечный объем в нек-рой окрестности Uмножества Ав X.

Имеются критерии продолжаемости аналитич. отображений, обобщающие классич. Пикара теорему. Напр., всякое аналитич. отображение , где X- комплексное многообразие, А - его аналитическое нигде не плотное подмножество, а Y гиперболическое компактное комплексное многообразие, можно продолжить до аналитич. отображения . Всякое не всюду вырожденное аналитич. отображение , где X- комплексное многообразие, Аего аналитич. одмножество, Y - компактное комплексное многообразие с отрицательным первым классом Чжэня, можно продолжить до мороморфного отображения .

Лит.:[1] Гриффите Ф., Кинг Дж., Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий, пер. с англ., М., 1976; [2] Кобаяси Ш., "Математика", 1973, т. 17, в. 1, с. 47-96; [3] Харви Р., Голоморфные цепи и их границы, пер. с англ., М., 1979.

Д. А. Пономарев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985