Математическая энциклопедия - псевдориманова геометрия

совокупность геометрич. свойств поверхностей и кривых в псевдоримановом пространстве ^lVn. Эти свойства вытекают из свойств псевдоримановой метрики этого пространства, к-рая является знаконеопределенной квадра-тичной формой индекса l:

Длина дуги кривой lвыражается формулой

она может быть действительной, чисто мнимой или нулем (изотропная кривая). Геодезич. линии в ^lVn даже в малых своих частях теряют экстремальные свойства, оставаясь линиями стационарной длины. Длина дуги lможет быть больше или меньше длины геодезич. отрезка, соединяющего концы дуги l. Если рассматривается пространство ^n-1Vn, то отрезок геодезической АВ действительной длины дает длиннейшее расстояние между точками А, В (в предположении, что эту дугу геодезической можно вложить в полугеодезическую координатную систему в виде координатной линии и что для сравнения берутся гладкие кривые действительной длины из области, где определена эта координатная система). В случае, когда рассматривается псевдориманово пространство ^п-1R п, можно всякую прямую действительной длины принять за ось х ⁿ ортонормиро-ванной координатной системы, в к-рой скалярный квадрат вектора xимеет вид

Здесь любой прямолинейный отрезок действительной длины (вдоль оси х ⁿ).будет служить длиннейшим расстоянием между точками, являющимися его концами. В случае пространства ^lVn (или ¹Rn) отрезок геодезич. линии мнимой длины будет служить длиннейшим расстоянием по сравнению со всевозможными гладкими кривыми мнимой длины, концы к-рых совпадают с концами геодезич. отрезка.

На основе псевдоримановой метрики развертывается дифференциальная геометрия поверхностей и кривых в псевдоримановом пространстве, определяются кривизны кривых и поверхностей и т. д.

П. г. возникает также на поверхностях в гиперболич. пространствах. Простейшим случаем П. г. является геометрия псевдоевклидова пространства ^lRn и, в частности, геометрия Минковского пространства. Лит. см. при ст. Псевдориманово пространство. Л.