Математическая энциклопедия - псевдориманово пространство

пространство аффинной связности (без кручения), касательное пространство в каждой точке к-рого является псевдоевклидовым пространством.

Пусть А п есть n-пространство аффинной связности (без кручения) и ^lRn - касательное псевдоевклидово пространство в каждой точке пространства А n, в этом случае П. п. обозначается ^lVn. Как и в собственном римановом пространстве, метрич. тензор пространства ⁱVn является невырожденным и абсолютно постоянным, а метрич. форма пространства ^lVn является квадратичной формой индекса l:

gij(X) - метрич. тензор . Пространство ^lVn можно определить как n-мерное многообразие, в к-ром задана инвариантная дифференциальная квадратичная форма индекса l.

Простейшим примером П. п. является пространство ^lRn.

П. п. ^lVn наз. приводимым, если в окрестности каждой его точки существует такая система координат ( х ¹, . . ., х ^п), что все координаты х ⁱ можно разделить на группы такие, что лишь для тех индексов ia, ia, к-рые принадлежат одной группе, а являются функциями только координат этой группы.

В П. п. определяется кривизна пространства в двумерном направлении, она может быть истолкована как кривизна геодезической (неизотропной) 2-поверхности, проведенной в данной точке в данном двумерном направлении. Если значение кривизны в каждой точке одно и то же по всем двумерным направлениям, то оно является постоянным во всех точках (теорема Шура) и П. п. наз. в этом случае П. п. постоянной кривизны. Примером П. п. постоянной отрицательной кривизны является гиперболич. пространство ^lS п отрицательной кривизны оно является П. п. ^n-lVn;пространство ^lRn есть П. п. нулевой кривизны.

Лит.:[1] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [2] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969; [3] Эйнштейн А., Собр. науч. трудов, т. 1, М., 1965. Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985