Математическая энциклопедия - псевдоевклидово пространство

действительное аффинное пространство, в к-ром каждым двум векторам a и b поставлено в соответствие определенное число, называемое скалярным произведением ( а, b).

1) Скалярное произведение коммутативно: ( а, b) =(b, а).

2) скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов: ( а(b + с)) = ( а, b) +( а, с).

3) числовой множитель можно вынести за знак скалярного произведения: (ka, b) = k(a, b).

4) существуют такие пвекторов аi, что

Число пназ. размерностью П. п., l - индексом, пара чисел (l, р), р=п-l, -сигнатурой. П. п. обозначается Е (l,р) (или ^l Е п). Пространство Е (1,3) наз. Минковского пространством. В пространстве E(l,p) во всякой системе пвекторов bi, для к-рых и (bi, bj)=0 при , число векторов bi, для к-рых (bi, bi)>0, равно l, а число векторов bi, для к-рых (bi, bi)<0, равно п-l (закон инерции квадратичной форм ы).

Модуль | а| вектора аП. п. может быть определен как неотрицательный корень . Векторы, скалярные квадраты к-рых равны 1 и -1, наз. соответственно единичными и мнимоединичными векторами. Векторы x, для к-рых (x, x)=0, обладают нулевым модулем и наз. изотропными векторами; направления изотропных векторов изотропными направлениями.

В П. п. имеются три вида прямых: евклидовы, направляющий вектор к-рых имеет положительный скалярный квадрат (( а, а)>0), псевдоевклидовы ( а, а)<0) и изотропные ((a, а)=0). Совокупность всех изотропных прямых, проходящих через нек-рую точку, наз. изотропным конусом.

В П. п. имеется несколько видов плоскостей: евклидовы плоскости Е ², псевдоевклидовы плоскости E(1;1) и плоскости, содержащие изотропные векторы,т. н. полуевклидовы плоскости сигнатуры (0,1) и (1,0) и дефекта 1 (см. Полуевклидово пространство).и изотропные плоскости, все векторы к-рых изотропны.

За расстояние между точками А(x )и В(x) принимается модуль вектора , и оно может быть вычислено следующим образом:

П. п. не является метрич. пространством, т. к. в нем не выполняется неравенство треугольника. Если векторы а и b принадлежат евклидовой плоскости (или псевдоевклидовой плоскости индекса 0), то для них выполняется неравенство треугольника, а если они принадлежат псевдоевклидовой плоскости индекса 1, то для них выполняется т. н. обратное неравенство треугольника:

В П. п. имеются три вида сфер: сферы с положительным квадратом радиуса: (x, x)=r², сферы с отрицательным квадратом радиуса: ( х, x)=s² и сферы нулевого радиуса: (x, x)=0, совпадающие с изотропным конусом.

Движения П.