Математическая энциклопедия - псевдогрупповая структура

на многообразии M максимальный атлас Агладких локальных диффеоморфизмов многообразия Мна фиксированное многообразие V, все функции перехода между к-рыми принадлежат данной псевдогруппе Г локальных преобразований многообразия V. Псевдогруппа Г наз. определяющей псевдогруппой, а многообразие V - модельным пространством. П. с. с определяющей псевдогруппой Г наз. также Г-структурой. Более подробно, множество А V -значных карт многообразия М(т. е. диффеоморфизмов открытых подмножеств на открытые подмножества ) называется П. с., если а) любая точка принадлежит области определения нек-рой карты j из А;б) для любых карт из Афункция перехода является локальным преобразованием данной псевдогруппы Г; в) множество А является максимальным множеством карт, удовлетворяющих условию 2).

Примеры П. с. 1) Псевдогруппа Г преобразований многообразия Vзадает П. с. (V, Г) на V, картами к-рой служат локальные преобразования из Г. Она наз. стандартной плоской Г-структурой .2) Пусть V=К ⁿ есть га-векторное пространство над или левый модуль над телом кватернионов , а Г псевдогруппа локальных преобразований V, главные линейные части к-рых принадлежат группе GL(n, К). Соответствующая Г-структура на многообразии Месть структура гладкого многообразия при , комплексного аналитич. многообразия при и специального кватернионпого многообразия при . 3) Пусть Г псевдогруппа локальных преобразований векторного пространства V, сохраняющих данный тензор S. Задание Г-структуры равносильно заданию интегрируемого ноля тензоров типа 5 на многообразии М. Напр., если S - невырожденная кососимметричная 2-форма, то Г-структура есть симплектич. структура. 4) Пусть Г псевдогруппа локальных преобразовании пространства , сохраняющих с точностью до функционального множителя дифференциальную 1-форму

Тогда Г-структура есть контактная структура. 5) Пусть V=G/H - однородное пространство группы Ли G, а Г псевдогруппа локальных преобразований V, продолжающихся до преобразований из группы G. Тогда Г-структура паз. П. с., определяемой однородным пространством V. Примерами таких структур являются структура пространства постоянной кривизны (в частности, локально евклидова пространства), плоские конформные и проективные структуры.

Пусть Г транзитивная псевдогруппа Ли преобразований пространства порядка l;Г-структура Ана многообразии Мопределяет главное подрасслое-ние расслоения кореперов любого порядка kна M, состоящее из k-струй карт из А:

Структурной группой расслоения pk, является группа изотропии k- гoпорядка G^k (Г) псевдогруппы Г, к-рая действует на B^k по формуле

Расслоение pk наз. k-м структурным расслоением или G^k (Г)-структурой, определяемой П. с. А. Расслоение pl, где l - порядок псевдогруппы Г, в свою очередь, однозначно определяет П. с. Акак множество карт , для к-рых

, если

Геометрия расслоения pk характеризуется наличием канонической G^k (Г)-эквивариантной горизонтальной относительно проекции 1-формы со значением в пространстве , где алгебра Ли группы изотропии . Она задается формулой

где