Математическая энциклопедия - псевдобулева алгебра

решетка L=(L,), содержащая наименьший элемент 0 и такая, что для любых ее элементов а и b во множестве существует наибольший элемент , где наибольшая нижняя грань для аи х. Элемент нал. псевдодополнением аотносительно b, или импликацией от а к b. Всякая П. а. является дистрибутивной решеткой с наибольшим элементом 1 (таковым будет любой элемент вида ).

П. а. служат алгебраич. моделями интуиционистского исчисления высказываний Гейтинга и характеризуют его аналогично тому, как булевы алгебры характеризуют классич. исчисление высказываний. П. а. наз. также алгебрами Гейтинга.

Решетки с относительным псевдодополнением рассматривал еще в 1919 Т. Сколем [1], правда без связи с логикой. Впервые такая связь появилась при рассмотрении решеток, двойственных П. а. (т. е. решеток, получающихся из П. а. обращением отношения ; см. [2]). Такие решетки были названы алгебрами Брауэра. Позднее алгебрами Брауэра стали называть и П. а.

Класс П. а., рассматриваемых как универсальные алгебры, с константой 0 и двуместными операциями может быть задан с помощью нек-poй системы тождеств.

Конгруэнция универсальной алгебры (L; 0, ), являющейся П. а., полностью определяется классом эквивалентности, содержащим 1, т. е. множеством

(1) по формуле

(2)

Множество (1) является решеточным фильтром, т. е. удовлетворяет условиям

Наоборот, всякий непустой решеточный фильтр произвольной П. а. L определяет по формуле (2) конгруэнцию на алгебре , класс эквивалентности единицы к-рой совпадает с исходным фильтром .

В П. а. выполняется также бесконечный дистрибутивный закон

(3)

для любого и любого множества , имеющего в Lнаименьшую верхнюю грань sup X. Если решетка полна, т. е. sup Xсуществует для любого то, наоборот, из того, что в ней справедливо тождество (3), вытекает, что она является П. а. Операция определяется равенством

Полные П. а. (т. е. полные решетки, удовлетворяющие тождеству (3)) рассматривают как алгебры с константой 0, двуместной операцией и "бесконечноместной" операцией sup:. Этот подход определяет для полных П. а. смысл таких понятий, как гомоморфизм, конгруэнция, подалгебра. Так, для конгруэнции должно выполняться условие: если и два подмножества в Lтаких, что для всякого имеет место , то , sup . Класс полных П. а., рассматриваемых как алгебры (L;0, , sup), может быть задан нек-рой системой тождеств, содержащих операций 0, , sup. Поэтому он замкнут относительно подалгебр, фактор-алгебр и прямых произведений семейств алгебр. В классе полных П. а. существуют свободные алгебры с любым множеством образующих.

Если мультипликативный оператор замыкания на полной П. а. L=(L, ), т. е. такая функция, что в Lтождественно выполняются условия

то отношение

(4)