Математическая энциклопедия - псевдовыпуклость и псевдовогнутость

свойства областей в комплексных пространствах, а также комплексных пространств и функций на них, аналогичные свойствам выпуклости и вогнутости областей и функций в пространстве . Вещественная функция j класса С ² на открытом множестве наз. р-псевдовыпуклой (или р- выпуклой), если эрмитова форма

имеет в каждой точке области Uне менее чем п=р+1 неотрицательных собственных значений. В случае, когда Н(j) имеет не менее чем n=р+1 положительных собственных значений, говорят, что j сильно (или строго) р- псевдовыпукла. В частности, (сильно) 1-псевдовыпуклые функции это (строго) плюрисубгармонические функции класса С ². Функция на аналитич. множестве наз. (сильно) р-выпуклой, если она является ограничением сильно р-псевдовыпуклой функции на U. Наконец, (сильно) р-выпуклая функция на произвольном комплексном пространстве X - это непрерывная функция на X, к-рая в окрестности любой точки представляется (сильно) р-выпуклой функцией в соответствующей локальной модели (см. Аналитическое пространство).

Комплексное пространство Xназ. ( р, q )-выпукло вогнутым, если существуют непрерывная функция и такие d0, c0, где , что для любых и множество

относительно компактно в X, а j сильно р-выпукла на и сильно (q-выпукла на . Если или , то пространство Xназ. сильно р-псевдовыпуклым или сильно q- вогнутым соответственно. Если же , то Xназ. р-полным.

Примеры. 1) Открытое множество Xс гладкой границей дХ в комплексном многообразии Мназ. строго р-псевдовыпуклым (строгор-псевдовогнутым), если всякая точка обладает окрестностью U, в к-рой существует такая сильно р-выпуклая функция j, что (соответственно ) Всякое строго р-псевдовыпуклое (строго р-псевдовогнутое) относительно компактное открытое множество является сильно р-выпуклым (сильно р-вогнутым) многообразием. Если нен-рые компоненты границы дХ удовлетворяют условию р-псевдовыпуклости, а другие условию q-псевдовогнутости, то получаются примеры ( р, q )-выпукло-вогнутых многообразий.

2) Компактные комплексные пространства естественно считать 0-выпуклыми.

3) Класс 1-полных пространств совпадает склассом Штейна пространств.

4) Класс сильно 1-выпуклых пространств совпадает с классом пространств, получающихся из пространств Штейна путем собственной модификации в конечном множестве точек.

5) Пусть X - компактное комплексное многообразие размерности n, S - его замкнутое подмногообразие, все компоненты к-рого имеют размерность q. Тогда XS является сильно (q+1 )-вогнутым, а если нормальное расслоение над Sположительно сильно ( п-q )-выпуклым пространством.

6) Если Sзамкнутое подмногообразие коразмерности рв многообразии Штейна X, то ХS р-полно.

7) Голоморфное векторное расслоение Еранга rнад многообразием Xназ. р-положительным (q-oтрицательным), если на Есуществует такая послойная эрмитова метрика h, что функция c(v)=-h(v, v).на Еявляется сильно ( р + r )-въшуклой (соответственно -cявляется сильно q-выпуклой) вне нулевого сечения (в случаях p=1 и q=1 получают понятия положительного расслоения и отрицательного расслоения). Если Xкомпактно, то пространство р-положительного расслоения Еявляется сильно ( р+r )-вогнутым, а пространство q-отрицательного расслоения сильно q-выпуклым. Пространство голоморфного векторного расслоения над р-полным пространством всегда р-полно.