Математическая энциклопедия - разложимая группа

над полем k, расщепи мая группа над k, k-pазложимая группа,линейная алгебраич. группа, определенная над kи содержащая разложимую над k Бореля подгруппу;. при этом связная разрешимая линейная алгебраич. группа Вназ. разложимой над А, если она определена над kи обладает таким композиционным рядом , что все В i - связные, определенные над kалгебраич. подгруппы, а каждая из факторгрупп изоморфна над kлибо одномерному тору Gm=GL1. либо аддитивной одномерной группе Ga. В частности, алгебраический тор тогда и только тогда разложим над k, когда он определен над k и изоморфен над kпрямому произведению нескольких экземпляров группы Gm. Для связных разрешимых k-разложимых групп справедлива Бореля теорема о неподвижной точке. Определенная над kредуктивная линейная алгебраич. группа тогда и только тогда разложима над k, когда она обладает разложимым над kмаксимальным тором, т. е. когда ее k-ранг совпадает с ее рангом (см. Ранг алгебраической группы). Образ k-разложимой группы при любом определенном над kрациональном гомоморфизме является k-разложимой группой. Всякая определенная над kлинейная алгебраич. группа Gразложима над алгебраич. замыканием поля k;если, кроме того, группа Gредуктивна или разрешима и связна, то она разложима над нек-рым конечным расширением поля k. Если поле kсовершенно, то связная разрешимая определенная над kлинейная алгебраич. группа тогда и только тогда разложима над k, когда она приводится над kк треугольному виду. Если char k=0, то определенная над kлинейная алгебраич. группа тогда и только тогда разложима над k, когда ее алгебра Ли L является разложимой (или расщепляемой) над kалгеброй Ли; последнее, по определению, означает, что алгебра Ли Lобладает расщепляющей подалгеброй. К а р т а н а, т. е. такой Картана подалгеброй, что все собственные значения каждого оператора adLh, , принадлежат полю k.

Если вещественная группа Ли, совпадающая с группой вещественных точек полупростой -разложимой алгебраич. группы G, aкомплексификация группы Ли , то наз. нормальной вещественной формой комплексной группы Ли

Существуют квазиразложимые группы над полем k, не являющиеся Р. г. над k;примером при может служить группа SO(3,1).

Лит.:[1] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Б о р е л ь А., Т и т с Ж., "Математика", 1967, т. 11, № 1, с. 43-111; [3] М е р з л я к о в Ю. И., Рациональные группы, М., 1980; [4] Х а м ф р и Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980. В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985