Математическая энциклопедия - размерностный многочлен

расширения дифференциальных полей многочлен, описывающий количество производных констант в решении системы уравнений с частными производными и являющийся аналогом Гильберта многочлена.

Пусть G дифференциальное расширение дифференциального поля F. Максимальное подмножество поля G, дифференциально сепарабельно независимое над F, наз. базисом дифференциальной сепарабельности. Базис дифференциальной сепарабельности расширения Gнад F, дифференциально алгебраически независимый над F, наз. дифференциальным базисом трансцендентности.

Пусть G конечно порожденное дифференциальное расширение: G=F(h1,. . .,hn) и (h1,. . .,hn) общий нуль простого дифференциального идеала , Yn}. Дифференциальная степень трансцендентности поля G над Fназ. дифференциальной размерностью идеала р(она обозначается d(p)). Если другой простой дифференциальный идеал и , то , причем равенство может иметь место даже для строгого включения. По этой причине желательно иметь более тонкую меру для измерения идеалов.

Фильтрация кольца дифференциальных многочленов F{Y1,. ..,Yn} по степеням дифференцирований индуцирует фильтрацию полей расширения G=F<h1, . . .,hn> поля F:

Существует (см. [2]) многочлен, значение к-рого в точках для всех равно степени трансцендентности расширения поля F. Он наз. размерностным многочленом расширения и имеет вид

где m мощность множества дифференцирований D, а а i целые. Р. м. является бирациональным инвариантом поля, то есть , но не является дифференциальным бирациональным инвариантом, то есть из , вообще говоря, не следует, что . Тем не менее этот многочлен содержит в себе дифференциальные бирациональные инварианты, каковыми являются степень многочлена (она наз. дифференциальным типом расширения F< h > над F).и старший коэффициент (называемый типовой дифференциальной размерностью). Среди дифференциальных Р. м., соответствующих различным системам дифференциальных образующих дифференциального расширения, существует минимальный относительно нек-рого отношения порядка на множестве всех целозначных многочленов, являющийся, таким образом, дифференциальным бирациональным инвариантом расширения.

Многочлен дифференциальной размерности определяется также и для дифференциальных модулей.

Р. м. вычислен для расширений, задаваемых следующими системами (см. [1], где Р. м. наз. мерой жесткости системы уравнений поля): 1) волновое уравнение; 2) уравнение Максвелла для пустого пространства; 3) уравнения электромагнитного поля, задаваемого потенциалами; 4) уравнения Эйнштейна для пустого пространства. Другие примеры вычисления Р. м. см. в [3].

Лит.:[1] Э й н ш т е й н А., Собрание научных трудов, т. 2, М., 1968; [2] К о 1 с h i n E. R., Differential algebra and algebraic groups, N. Y.-L., 1973; [3] М и х а л е в А. В., П а н к р а т ь е в Е. В., в кн.: Алгебра, М., 1980, с. 57-67.

Е. В. Панкратьев

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985