Математическая энциклопедия - разрешение особенностей

д е с и н г у л я р и з а ц и я,замена особого алгебраич. многообразия на бирационально изоморфное неособое многообразие. Более точно, Р. о. алгебраич. многообразия Xнад основным полем kназ. собственный бирациональный морфизм такой, что многообразие неособое (гладкое). Аналогично определяется Р. о. схемы, комплексно-аналитического пространства и т. д. Существование Р. о. позволяет сводить многие вопросы к неособым многообразиям, при изучении к-рых можно использовать теорию пересечений и аппарат дифференциальных форм.

Обычно Р. о. происходит путем последовательного применения операции моноидалъпого преобразования. Известно, что если центр Dмоноидального преобразования допустим (то есть Dнеособо, а X - нормальное плоское многообразие вдоль D), то численные характеристики особенностей многообразия (кратность, функция Гильберта и т. д.) не хуже, чем у X. Проблема состоит в выборе центра раздутия так, чтобы особенности у действительно улучшились.

В случае кривых проблема Р. о. сводится по существу к нормализации. В двумерном случае ситуация сложнее. Доказано существование Р. о. у любого многообразия над полем k нулевой характеристики. Точнее, для приведенного многообразия Х 0 существует конечная последовательность допустимых моноидальных преобразований , с центрами такая, что Di содержатся в множествах особых точек Xi, а Х r - неособое многообразие. Аналогичный результат верен для комплексно-аналитических пространств. В положительной характеристике существование Р. о. установлено (1983) для размерностей

С задачей Р. о. тесно связана задача разрешения вложенных особенностей, формулируемая следующим образом. Пусть Xвложено в неособое алгебраич. многообразие Z; существует ли собственное отображение с неособым такое, что а) f индуцирует изоморфизм является дивизором с нормальными пересечениями? (Дивизор на неособом многообразии имеет нормальные пересечения, если локально он задается уравнением , где часть регулярной системы параметров на Z.)

Задача разрешения вложенных особенностей является частным случаем задачи тривиализации пучка идеалов. Пусть Z - неособое многообразие, I когерентный пучок идеалов на Z,a неособое замкнутое подмногообразие. Слабым прообразом илеала I при раздутии с центром в Dназ. пучок идеалов

на , где , а т - кратность идеала I в общей точке D. Тривиализация пучка идеалов состоит в нахождении последовательности раздутий с неособыми центрами, при к-рых слабый прообраз I становится структурным пучком. Пусть Z0 - неособое многообразие над полем нулевой характеристики, I0 когерентный пучок идеалов на Z0 и, кроме того, задан нек-рый дивизор Е 0 на Z0 с нормальными пересечениями. Тогда существует последовательность раздутий

, с неособыми центрами

, обладающая следующими свойствами: если определить Ii + 1 как слабый прообраз Ii при раздутии fi, а Е i+1 - как , то , а Е r имеет лишь нормальные пересечения (т е о р е м а Х и р о н а к а). Более того, можно считать, что Di лежит в множестве точек максимальной кратности Ii и имеет нормальные пересечения с Е i. В положительной характеристике аналогичный результат известен лишь при

Другой задачей этого типа является задача исключения точек неопределенности рационального отображения. Пусть рациональное отображение неособых алгебраич. многообразий. Существует ли последовательность раздутий с неособыми центрами

такая, что индуцированное отображение является морфизмом? Эта задача сводится к задаче существования тривиализации пучка идеалов, и ответ утвердителен, если или если

Лит.:[1] A b h y a n k a r S., Resolution of singularities of embedded algebraic surfaces, N. Y.L., 1966; в кн.: Тр. Международного конгресса математиков. 1966, М., 1968, с. 469481; [2] L i р m a n J., в кн.: Algebraic geometry, Providence, 1975, p. 531-46; [3] Х и р о н а к а X., "Математика", 1965, т. 9, № 6, с. 2-70. В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985