Математическая энциклопедия - разностное уравнение

уравнение, содержащее конечные разности искомой функции. функция целочисленного аргумента ,

конечные разности. Выражение содержит значения функции в (m+1)-й точке п, n+1,. . ., п+т. Справедлива формула

(1)

Р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м наз. уравнение вида

(2)

где искомая и F - заданная функции. Замена в (2) конечных разностей их выражениями через значения искомой функции согласно (1) приводит к уравнению вида

(3)

Если , т. е. уравнение (3) действительно содержит как , так и , то уравне-вие (3) наз. р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м m-го п о р я д к а, или д и ф ф е р е н ц и а л ь н о-р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м.

Наиболее развита теория линейных Р. у., к-рая имеет много общего с теорией обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (см. [1] [3]). Линейным Р. у. m-го порядка наз. уравнение

(4)

где заданная функция, , k=0, 1, . . ., m, заданные коэффициенты, причем , . Решением Р. у. (4) наз. всякая функция , удовлетворяющая уравнению (4). Как и в случае дифференциальных уравнений, различают частное и общее решения Р. у. (4). О б щ и м р е ш е н и е м Р. у. (4) наз. его решение, зависящее от тпроизвольных параметров и такое, что каждое частное решение может быть получено из этого общего решения при нек-ром значении параметров. Обычно конкретные значения параметров находятся из дополнительных условий. Типичной является задача Коши: по заданным , fn найти решение уравнения

(4) при п=т, m+l, . . . Существование и способ построения решения Р. у. (4) устанавливаются по следующей схеме. Наряду с (4) рассматривается однородное Р. у.

(5)

Справедливы следующие утверждения.

1) Пусть решения уравнения

(5) и произвольный набор постоянных. Тогда функция также является решением уравнения (5).

2) Если суть трешений уравнения (5) и определитель

отличен от нуля, то общее решение однородного Р. у. (5) имеет вид

(6)

где произвольные постоянные.

3) Общее решение неоднородного Р. у. (4) представляется в виде суммы какого-либо частного его решения и общего решения однородного Р. у. (5).

Частное решение неоднородного уравнения (5) можно построить, исходя из общего решения (6) однородного уравнения, путем применения метода вариации произвольных постоянных (см., напр., [2]). В случае Р. у. с постоянными коэффициентами

(7)

можно непосредственно найти тлинейно независимых частных решений. Для этого рассматривается харак-теристич. уравнение

(8)

и ищутся его корни . Если все корни простые, то функции

образуют линейно независимую систему решений уравнения (7). В случае, когда корень кратности r, линейно независимыми являются решения

Если коэффициенты а 0, a1, . . ., а т действительные и уравнение (8) имеет комплексный корень, напр. простой корень , то вместо комплексных решений выделяют два линейно независимых действительных решения

Пусть имеется Р. у. 2-го порядка с постоянными действительными коэффициентами

(9) Характеристич. уравнение

имеет корни

Общее решение уравнения (9) в случае удобно записывать в виде

(10)

где с 1 и с 2 произвольные постоянные. Если и комплексно сопряженные корни:

то другое представление общего решения имеет вид

(11)

В случае кратного корня общее решение может быть получено предельным переходом из (10) или (11). Оно имеет вид

Как и в случае уравнений произвольного порядка, для Р. у. 2-го порядка можно рассматривать задачу Коши или различные краевые задачи. Напр., для задачи Коши

(12)

где х - любое действительное число, решением (12) является многочлен Тn (х).степени п(м н о г о ч л е н Ч е б ы ш е в а 1-г о р о д а), к-рый определяется формулой