Математическая энциклопедия - разрешимая группа

группа, обладающая конечным субнормальным рядом с абелевыми факторами (см. Подгрупп ряд). Она также обладает нормальным рядом с абелевыми факторами (такие ряды наз. р а зр е ш и м ы м и). Длина кратчайшего разрешимого ряда группы наз. ее д л и н о й, или с т у п е н ь ю р а з р е ш и м о с т и. Важнейшим из таких рядов является ряд коммутантов, или производный ряд (см. Коммутант группы). Термин "Р. г." возник в теории Галуа и связан с разрешимостью алгебраич. уравнений в радикалах.

Конечные Р. г. обладают субнормальным рядом с факторами простых порядков. Эти группы характеризуются справедливостью следующего обращения теоремы Лагранжа; для любого разложения п=п1 п 2 порядка nгруппы на два взаимно простых сомножителя существует подгруппа порядка п 1, и все подгруппы порядка n1 сопряжены между собой. Если порядок конечной группы делится только на два простых числа, то такая группа разрешима. В классе Р. г. конечные группы выделяются как конечно порожденные периодич. группы.

Частными случаями Р. г. являются нильпотентные группы, полициклические группы, метабелевы группы. Важный подкласс образуют конечно порожденные группы, являющиеся расширениями своей абелевой нормальной подгруппы с помощью полициклич. факторгруппы. Они удовлетворяют условию максимальности для нормальных подгрупп (см. Обрыва цепей условии).и финитно аппроксимируемы (см. Финитно аппроксимируемая группа). Всякая связная разрешимая группа Ли, а также Р. г. матриц, связная в Зариского топологии, имеют нильпотентный коммутант. Всякая матричная Р. г. над алгебраически замкнутым полем имеет подгруппу конечного индекса, сопряженную с подгруппой треугольной группы (см. Ли Колчина теорема).

Все Р. г. длины, не превосходящей числа l, образуют многообразие (см. Групп многообразие). Свободные группы таких многообразий наз. с в о б о д н ы м и р а з р е ш и м ы м и г р у п п а м и.

Лит.:[1] К у р о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [2] К а р г а п о л о в М. И., М е р з л я к о в Ю. И., Основы теории групп, 2 изд., М., 1977. А. Л. Шмелъкин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985