Математическая энциклопедия - разностная вариационная схема

разностная схема, построенная на основе вариационной задачи, соответствующей краевой задаче для дифференциального уравнения. Основная идея построения Р. в. с. состоит в том, чтобы при специальном выборе координатных функций в Ритца методе получить систему линейных алгебраич. уравнений, совпадающую по структуре с системой разностных уравнений;обычно неизвестными параметрами являются приближенные значения в узлах сетки точного решения и, возможно, нек-рых его производных. В качестве таких координатных функций можно использовать кусочно линейные, полилинейные и др. функции.

Разностные схемы можно получать также, выбирая специальным образом координатные функции в Галеркина методе. Метод получения разностных схем с помощью метода Галеркина наз. вариационно-разностным методом (или проекционно-разностным методом). Вариационно-разностный метод иногда наз. методом конечных элементов, хотя последнее название употребляется в более общем смысле.

Пусть поставлена краевая задача:

(1)

(2)

где f(x) - непрерывная функция, р(x) непрерывно дифференцируема и

Умножение (1) на произвольную функцию j(x), удовлетворяющую условиям (2), и интегрирование по х:

приводит к тождеству

(3)

к-рому удовлетворяет решение задачи (1), (2). Справедливо и обратное утверждение: функция и(х), удовлетворяющая граничным условиям (2) и тождеству (3) при произвольных функциях j(x), j(0) = j(1)=0, является решением задачи (1), (2). Тождество (3) используется для построения приближенного решения методом Галеркина. Промежуток [0,1] разбивается на N частей точками xi=ih, i=l,. . ., N-1, h=N^-l. Множество {xi} наз. сеткой, точки х i - узлами сетк-и, h ш а г о м сетки. В качестве координатных функций в методе Галеркина берутся функции

где

Функции ji(x)=0 вне промежутка [xi-1, xi+1]. Это свойство координатных функций принято называть свойством локальности. Пусть приближенное решение задачи ищется в виде

⁽⁴⁾

где искомые параметры, к-рые являются значениями приближенного решения в узлах сетки:

Пусть К - множество функций вида (4). Функции из Клинейны на промежутках [ х i, xi+1], непрерывны на [0,1] и равны нулю при х=0 и х=1. Система метода Галеркина получается при подстановке в (3) функции вместо и(х).и функций ji(x)вместо j(x):

(5) При этом

и

лишь для j=i -l, i, i+1, т. е. в каждом уравнении имеется не более трех неизвестных. Система (5) может быть записана в виде

где

Эта система по структуре сходна с обычной разностной. Системы уравнений, полученные таким способом, и наз. разностными вариационными схемами. В отличие от обычных разностных схем коэффициенты и fi являются не значениями функций ри f в фиксированных точках, а их усреднениями. Это обстоятельство позволяiет использовать Р. в. с. для уравнений с "плохими" (напр., разрывными) коэффициентами .

Пусть Lh={L(jj, ji)} матрица системы (5). Так как L(jj, ji)=L(ji, jj), то матрица Lh симметрична. Имеет место равенство

где произвольный вектор из евклидова пространства EN-1 размерности N-1, (.,.) скалярное произведение в Е N-1,

Изнеравенства

справедливого для произвольной непрерывной и дифференцируемой функции, удовлетворяющей условию и(0) = (0), следует оценка

из к-рой выводится неравенство

(6)

Матрица Lh положительно определена; система (5) однозначно разрешима.

При малых значениях hсистема (5) состоит из большого числа уравнений. Точность решения системы ал-гебраич. уравнений и объем необходимой для этого работы в большой степени зависят от величины т. н. числа о б у с л о в л е н н о с т и матрицы системы, где и наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы Lh. Из неравенства (6) следует, что . Справедлива также оценка

Число обусловленности P=O(h ²), что совпадает по порядку hс известными оценками для матриц обычных разностных схем.

Сходимость приближенного решения к точному доказывается по обычной для метода Галеркина схеме. Из (3) и (5) для произвольной функции j из Кследует,

что

(7)

откуда

(8)

где w - произвольная функция из К. Правая часть (8) оценивается с помощью неравенства

Таким образом, ,

Обозначение ;

(число наз. энергетической нормой функции и).позволяет переписать последнее неравенство в виде

Оценка погрешности Р. в. с. сводится к оценке наилучшего приближения точного решения функциями класса К. Если в качестве взять кусочно линейную функцию

совпадающую с функцией и(х).в узлах сетки, то справедлива оценка:

где С - постоянная.

На рассмотренном примере видны нек-рые характерные черты вариационно-разностного метода: локальность координатных функций, обеспечивающих близость Р. в. с. по структуре к разностным схемам, и применимость техники проекционных методов к исследованию сходимости Р. в. с.

Основным при построении Р. в. с. является выбор локальных координатных функций, обладающих требуемыми аппроксимационными свойствами. Задача аппроксимации ставится в различных функциональных пространствах. Для задач математич. физики важны пространства Соболева , т. е. линейные множества функций с конечной нормой

где область в , l неотрицательное целое

число, a= (a1,...,an) вектор с целочисленными координатами,

Многие классы локальных координатных функций строятся по следующей схеме. Пусть заданы функции , принадлежащие и равные нулю вне n-мерного куба , j=1,2,. . .,п. Пусть h=(hl,. . .,hn) - заданный вектор с положительными координатами, i=(i1,. . ., in) - произвольный целочисленный вектор,

Через Iобозначено множество векторов i таких, что n-мерный параллелепипед ,. . ., п, пересекается с . Для данной области в качестве координатных функций выбираются функции вида

т. е. функции, полученные из исходных функций масштабированием аргументов и сдвигом на вектор i. Такие координатные функции принято называть регулярными. Пусть классом Кназ. множество функций вида

Если любой полином Pl-I степени lот можно представить как линейную комбинацию ,. . ., , то для произвольной функции можно указать функцию такую, что справедливо аппрок-симационное неравенство

(9) где h=max hj, С не зависит от h и u.

Р. в. с. для краевых задач для эллиптич. уравнений строятся на основе эквивалентных задач нахождения функций, удовлетворяющих интегральным тождествам. Многие из этих задач состоят в нахождении функции , удовлетворяющей при произвольной функции интегральному тождеству

(10)

где S - граница и f(х).заданные функции. Предполагается, что

и

Применение к (10) метода Галеркина с координатными функциями приводит к Р. в. с. для задачи (10). Пусть решение и(х).задачи (10) принадлежит , l>m, и функции удовлетворяют условиям, при к-рых справедливо неравенство (9). Для оценки погрешности Р. в. с. используют стандартную технику метода Галеркина:

где приближенное решение.