Математическая энциклопедия - разностных схем теория

-раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечноразностными уравнениями (р а з н о с т н ы м и с х е м а м и).

Р. с. т. изучает способы построения разностных схем, исследует корректность разностных задач и сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи, занимается обоснованием алгоритмов решения разностных задач. Метод конечных разностей (называемый также методом сеток) является универсальным вычислительным методом, позволяющим эффективно решать сложнейшие задачи математич. физики, включая нелинейные задачи. Отличительной чертой современной Р. с. т. является ориентация на построение и исследование методов, пригодных для ЭВМ.

Основные понятия. Метод конечных разностей применяется в теории дифференциальных уравнений как эффективное средство доказательства теорем существования. Для целей вычислительной математики задачи Р. с. т. существенно меняются. Решая приближенно ту или иную задачу математич. физики, заранее предполагают, что эта задача поставлена корректно; при этом основной целью Р. с. т. становится нахождение и обоснование наилучшего метода решения исходной дифференциальной задачи, формулировка общих принципов построения разностных схем с заданными свойствами для широких классов задач математич. физики.

Ниже излагаются на достаточно общем примере основные понятия, к-рыми оперирует Р. с. т.понятия аппроксимации, устойчивости, сходимости; демонстрируется один из возможных подходов к построению Р. с. т.

Пусть в n-мерной области Gс границей Г ищется решение дифференциального уравнения

(1)

с дополнительными (граничными, начальными) условиями

(2)

где Lи lлинейные дифференциальные операторы, f(x).и m (х) - заданные функции. Пусть в нек-ром классе функций задача (1), (2) поставлена корректно (т. е. ее решение и(х).существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных f(x), m(x)). В методе конечных разностей область G=G+Г приближенно заменяют дискретным множеством точек сеткой . Параметр h=(h1, . . ., hn), шаг сетки, характеризует плотность сетки, и обычно при последовательность сеток Gh, стремится заполнить всю область . Производные, входящие в (1), (2), аппроксимируются на сетке соответствующими разностными отношениями. В результате получается система линейных алгебраич. уравнений

(3)

где -искомая сеточная функция, заданные сеточные функции Lh, lh - разностные операторы. Семейство уравнений (3), зависящее от параметра h, наз. р а з н о с т н о й с х е м о й. Хотя уравнение (3) получено путем аппроксимации исходной задачи (1), (2), его можно рассматривать как независимый математич. объект. Из корректности задачи (1), (2) не следует, вообще говоря, корректность разностной задачи (3). Поэтому одной из основных задач Р. с. т. является исследование корректности задачи (3). Кроме того, Р. с. т. изучает сходимость при решения разностной задачи к решению и(х).исходной дифференциальной задачи. Корректность и сходимость тесно связаны между собой.

Пусть множество сеточных функций, заданных на , образует векторное пространство Hh, а операторы действуют в этом пространстве; в пространствах решений и правых частей вводятся нормы

Говорят, что разностная задача (3) поставлена корректно, если для всех достаточно малых и при любых ее решение существует, единственно и для него выполняется оценка

(4)

с константой М, не зависящей от h. Последнее свойство, означающее равномерную но hнепрерывную зависимость решения от входных данных, наз. у с т о йч и в о с т ь ю р а з н о с т н о й с х е м ы. Оценки вида (4) решения разностной задачи через известные правые части наз. а п р и о р н ы м и о ц е н к а м и. Получение априорных оценок составляет основу Р. с. т. Для оценки погрешности решение задачи (3) представляется в виде суммы

где проекция решения задачи (1), (2) в пространство погрешность приближенного решения. В силу линейности задачи (3) для погрешности получаются уравнения

(5) где

функции и наз. п о г р е ш н о с т я м и а п п р о к с и м а ц и и разностной схемой (3) уравнения (1) и дополнительного условия (2) соответствен-

но. Говорят, что схема (3) аппроксимирует задачу (1), (2) с m-м порядком аппроксимации, если

Схема (3) имеет m-й порядок точности или сходится со скоростью , если

Для сходимости разностной схемы одной только аппроксимации, вообще говоря, недостаточно: надо потребовать еще, чтобы разностная задача (3) была корректна. Именно, справедливо следующее утверждение: если разностная схема (3) корректна и имеет m-й порядок аппроксимации, то она сходится со скоростью (см. [28]).

Возможны и другие подходы к построению Р. с. т. Так, в теории Лакса (см. [8]) сходимость разностных схем изучается не в пространствах сеточных функций, а в пространстве решений исходной дифференциальной задачи; здесь доказана т. н. теорема эквивалентности: если исходная задача (1), (2) корректна и схема (3) аппроксимирует задачу (1), (2), то устойчивость необходима и достаточна для сходимости. Возможны и другие постановки вопроса о связи устойчивости и сходимости (см., напр., [9]). Исследование сходимости разностных схем проводилось и в пространствах обобщенных решений (см. [10]).

Требования к разностным схемам. При расчетах на современных ЭВМ не всегда достаточно требовать от разностной схемы только сходимости при Использование реальных сеток при конечном шаге сетки предъявляет к схемам ряд дополнительных требований. Они сводятся к тому, что разностная схема помимо обычной аппроксимации и устойчивости должна хорошо моделировать характерные свойства исходного дифференциального уравнения. Кроме того, разностная схема должна удовлетворять определенным условиям простоты реализации вычислительного алгоритма. Ниже рассматриваются нек-рые из этих дополнительных требований.

Под о д н о р о д н о й р а з н о с т н о й с х е м о й (см. [1], [11]) понимается разностная схема, вид к-рой не зависит ни от выбора конкретной задачи из данного класса, ни от выбора разностной сетки. Во всех узлах сетки для любой задачи из данного класса разностные уравнения имеют один и тот же вид. К однородным разностным схемам относятся, в частности, схемы сквозного счета для решения уравнений с сильно меняющимися или разрывными коэффициентами. Схемы сквозного счета не предусматривают явного выделения точек разрыва коэффициентов и позволяют вести вычисления по одним и тем же формулам. Широко используются схемы сквозного счета при расчетах разрывных решений уравнений газовой динамики (см. [1], [5], [12]).

Требование к о н с е р в а т и в н о с т и р а зн о с т н о й с х е м ы означает, что данная разностная схема имеет на сетке такой же закон сохранения, что и исходное дифференциальное уравнение. В частности, если L - самосопряженный оператор и схема (3) консервативна, то Lh - самосопряженный в Н h оператор, т. е. консервативная схема сохраняет свойство самосопряженности.

Регулярным методом получения консервативных однородных схем является т. н. м е т о д б а л а н с а, или и н т е г р о и н т е р п о л я ц и о н н ы й м ет о д. Сущность метода баланса состоит в аппроксимации на разностной сетке интегрального закона сохранения (уравнения баланса), соответствующего данному дифференциальному уравнению. Метод баланса нашел широкое применение при аппроксимации уравнений с переменными, в том числе и разрывными, коэффициентами. Другой группой методов построения разностных схем, сохраняющих свойства самосопряженности и положительности исходного оператора, являются методы, основанные на вариационных принципах (метод Ритца, метод конечных элементов) (см. Разностная вариационная схема).

При конструировании разностных схем для уравнений газовой динамики нашел применение принцип полной консервативности (см. [5]). Для уравнений гиперболич. типа оказалось полезным исследование дисперсионных свойств соответствующих разностных уравнений (см. [13]).

Если известно, что при решение исходной дифференциальной задачи стремится к нулю, то естественно требовать того же и от решения аппроксимирующей разностной задачи. Схемы, обладающие этим свойством, наз. а с и м п т о т и ч е с к и у с т о йч и в ы м и (см. [4]).

Другой подход к построению разностных схем лучшего качества состоит в получении схем, удовлетворяющих тем же априорным оценкам, к-рые характерны (неулучшаемы) для исходных дифференциальных уравнений (см. [14]).