Математическая энциклопедия - размерности теория

часть топологии, в к-рой для каждого компакта, а впоследствии и для более общих классов топологич. пространств тем или иным естественным образом определяется числовой топологич. инвариант размерность, совпадающий, если Xесть полиэдр (в частности, многообразие), с его числом измерений в смысле элементарной или дифференциальной геометрии. Первое общее определение размерности было дано Л. Брауэром (L. Brouwer, 1913) для компактов и даже более широкого класса полных метрич. пространств. Определение строится по индукции следующим образом. Пустому множеству приписывается размерность 1. В предположении, что определены пространства, а значит и лежащие в них множества, размерности , говорят, что пространство Xимеет размерность , если между любыми двумя дизъюнктными замкнутыми множествами Аи В пространства Xимеется перегородка Ф размерности (при этом перегородкой между множествами A и В в пространстве Xназ. такое замкнутое множество Ф этого пространства, что дополнение есть сумма двух дизъюнктных открытых множеств Си D, из к-рых одно содержит множество А, а другое множество В). В 1921 П. С. Урысон и К. Менгер (К. Menger) независимо от Л. Брауэра и друг от друга пришли к эквивалентному в случае компактов и даже любых сепарабельных метрич. пространств определению, отличающемуся от брауэровского тем, что одно из двух замкнутых множеств А, Впредполагается состоящим из одной точки. Определения размерности в смысле Брауэра и в смысле Урысона и Менгера могут быть сформулированы для любых хаусдорфовых пространств, и определяемые ими топологич. инварианты наз. соответственно большой и малой индуктивной размерностями и обозначаются Ind Xи ind X, причем всегда

Совершенно иной подход к понятию размерности берет начало от А. Лебега (Н. Lebesgue), высказавшего следующую теорему: n-мерный в смысле элементарной геометрии куб Qⁿ при любом положительном числе e может быть покрыт конечным числом замкнутых множеств (даже кубов) диаметра <e таким образом, что кратность этого покрытия равна n+1, тогда как при достаточно малом e>0 не существует покрытия куба Qⁿ, к-рое имеет кратность <n+1 и состоит из замкнутых множеств диаметра <e (при этом кратностью какой-либо (конечной) совокупности множеств наз. наибольшее целое число ттакое, что в данной совокупности имеется тмножеств с непустым пересечением). Теперь можно теорему Лебега сформулировать так. Число измерений куба Qⁿ есть наименьшее такое целое число n, для к-рого имеется сколь угодно мелкое (т. е. состоящее из элементов сколь угодно малого диаметра) покрытие кратности n+1 замкнутыми множествами. Эта теорема, впервые доказанная лишь Л. Брауэром, приводит к следующему определению. Размерностью dim Xкомпакта X(определенной посредством покрытий) наз. наименьшее число птакое, что при любом e>0 компакт Xимеет покрытие кратности n+1, состоящее из замкнутых множеств диаметра . Не меняя содержания этого определения, можно заменить в его формулировке замкнутые множества открытыми.

При определении размерности компакта Xприменяется понятие диаметра множества, относящееся к метрике, а не к топологии компакта X. Однако доказывается, что определенное так число dim Xтем не менее является топологич. инвариантом компакта X, т. е. что два гомеоморфные между собою компакта имеют одну и ту же размерность dim X. Этот факт устанавливается непосредственно, но его легко вывести и из того, что числу dim Xможно дать и непосредственно топологич. определение, опирающееся лишь на топологию компакта X.

П о к р ы т и е м данного топологич. пространства наз. любая конечная совокупность его открытых множеств, дающих в своей сумме все это пространство. Покрытие a' мельче покрытия a, если a' вписано в a, т. е. если каждый элемент покрытия a' является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия a. Оказывается, размерность dim Xможно определить так: число dim Xесть наименьшее целое число птакое, что для всякого покрытия пространства Xсуществует вписанное в него покрытие кратности n + 1. Но это определение, очевидно, может быть сформулировано не только для компактов, а для любых топологич. пространств, и позволяет определить для них размерность. Размерность dim X, определенная таким образом для топологич. пространств, позволяет построить содержательную и богатую математич. фактами теорию, оставаясь, по крайней мере, в классе нормальных пространств (а значит, в частности) и метризуемых пространств).

Одной из главных проблем Р. т. является выяснение наиболее широких условий, в к-рых имеет место т. н. основное тождество Урысона, а именно:

ind X = Ind X = dim.X.

Оказывается, оно имеет место для всех сепарабельных метризуемых пространств, т. е. для всех нормальных пространств со счетной базой, а также для пространств локально бикомпактных групп (теорема П а с ы н к о в а). Без предположения сепарабельности для метризуемых пространств можно утверждать лишь справедливость формулы Катетова

а для бикомпактов формулы Александрова

причем имеются бикомпакты X, для к-рых

(пример Л у н ц а-Л о к у ц и е в с к о г о), и бикомпакты X, для к-рых

(пример Ф и л и п п о в а).

Большое общепознавательное значение имеет следующая теорема Нёбелинга Понтрягина: необходимое и достаточное условие для того, чтобы топологич. пространство Xбыло гомеоморфно подпространству какого-либо евклидова пространства конечного числа измерений, заключается в том, чтобы Xбыло нормальным пространством конечной размерности, имеющим счетную базу. Это позволяет при изучении конечномерных компактов и вообще конечномерных нормальных пространств со счетной базой рассматривать их как подпространства евклидовых пространств.