Математическая энциклопедия - разрывная вариационная задача

задача вариационного исчисления, в к-рой экстремум функционала достигается на ломаной экстремали. Л о м ан а я э к с т р е м а л ь кусочно гладкое решение Эйлера уравнения, удовлетворяющее в угловых точках нек-рым дополнительным необходимым условиям. Эти условия принимают конкретный вид в зависимости от типа Р. в. з. Так, в Р. в. з. 1-го рода ломаная экстремаль разыскивается при обычных предположениях относительно непрерывности и непрерывной дифференцируемости подинтегральной функции. Для простейшего функционала

(1)

в угловой точке х 0 ломаной экстремали необходимо выполнение у с л о в и й В е й е р ш т р а с с а Э р д м а н а

(2)

(3)

В случае, когда Fзависит от пнеизвестных функций, т. е. в (1) есть n-мерный вектор , условия Вейерштрасса Эрдмана в угловой точке имеют вид, аналогичный (2), (3):

(4)

(5)

Для задач на условный экстремум, в к-рых подинтегральная функция зависит от пнеизвестных функций и имеется m дифференциальных ограничений типа равенства (см. Болъца задача), условия Вейерштрасса-Эрдмана формулируются с помощью функции Лагранжа Lи имеют вид (4), (5) с заменой Fна L.

В терминах теории оптимального управления необходимые условия в угловой точке ломаной экстремали требуют непрерывности сопряженных переменных и функции Гамильтона в точках разрыва оптимального управления. Как следует из Понтрягина принципа максимума, эти условия автоматически выполняются, если управление вдоль ломаной экстремали определяется из условия максимума функции Гамильтона.

В Р. в. з. 2-го рода подинтегральная функция разрывна. Пусть, напр., F( х, у, у').претерпевает разрыв вдоль линии у=j(х).так, что F( х, у, у').соответственно равна F1( х, у, у').и F2( х, у, у').по одну и другую сторону от линии у-j(х). Тогда если оптимальное решение существует, то оно достигается на ломаной экстремали, имеющей угловую точку (x0, j (x0)) и вместо функционала (1) получают функционал

(6)

Вариация функционала (6) сводится к вариации функционалов J1 и J2. на кривых сравнения, имеющих соответственно правый и левый подвижные концы, смещающиеся вдоль линии у=j(х). Для того чтобы ломаная экстремаль доставляла минимум функционалу (6), необходимо, чтобы в угловой точке (х 0, j (х 0)).выполнялось условие

(7)

Для случая, когда Fзависит от пнеизвестных функций y=(y1, . . ., yn). а поверхность разрыва Fзадана в виде

(8)

необходимые условия в угловой точке ломаной экстремали, находящейся на поверхности (8), принимают вид

(9)

Необходимые условия (7), (9) дают недостающие условия для вычисления произвольных постоянных, определяющих ломаную экстремаль частное решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям. Действительно, равенства (9) дают пнеобходимых условий, к-рые в совокупности с 2n граничными условиями, n условиями непрерывной стыковки ломаной экстремали в угловой точке и уравнением (8) дают 4n + 1 условий, с помощью к-рых можно определить абсциссу угловой точки х 0 и 4n произвольных постоянных по 2n для каждой из экстремалей, лежащих по разные стороны от поверхности (8). Лит.:[1] Г ю н т е р Н. М., Курс , вариационного исчисления, Л,-М., 1941; [2] С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [3] П о н т р я г и н Л. С. [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 3 изд., М., 1976.

И. Б. Вапнярский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985