Математическая энциклопедия - размерностный инвариант

целое число d(X), определяемое для каждого топологич. пространства Xданного класса и обладающее достаточным количеством свойств, сближающих его с обычным числом измерений евклидовых многомерных пространств. При этом от класса требуется, чтобы он содержал все кубы любого числа измерений и вместе с любым данным пространством X, являющимся его элементом, содержал в качестве элемента и всякое пространство, гомеоморфное пространству X. От Р. и. d(X).предполагается, во всяком случае, что для гомеоморфных пространств Xи X' всегда d(X)=d(X').и что для n-мернрго куба Iⁿ выполняется d(Iⁿ) = n. Среди Р. и. важнейшими являются т. н. классические размерности Лебега размерностьdim X и (большая и малая) индуктивная размерностьInd X,ind X.

Имеют место следующие предложения, выделяющий размерность dim Xсреди всех Р. и., определенных соответственно в классе всех (метрических) компактов, всех метризуемых и всех сепарабельных метризуемых пространств и тем решающие для этих пространств проблему аксиоматич. определения размерности. Единственный, удовлетворяющий нижеперечисленным условиям 1), 2), 3), определенный в классе всех (метрических) компактов Xразмерностный инвариант d(X).есть размерность dim X=Ind X=ind X(теорема Александрова).

Условие 1) (аксиома Пуанкаре). Если пространство принадлежит к классу и d(X).равно неотрицательному целому числу п, то в Xсодержится замкнутое подпространство Х 0, для к-рого d(x0)<n и такое, что множество Х|Х0 несвязно.

Условие 2) (аксиома конечной суммы). Если принадлежащее к классу пространство Xесть объединение двух замкнутых подпространств Х 1 и Х 2, для к-рых , то и

Условие 3) (аксиома Брауэра в метрической форме). Если X - принадлежащее к классу пространство и d(X).есть неотрицательное целое число n, то существует такое положительное число e, что для всякого пространства Y, являющегося образом пространства Xпри каком-либо e-отображении, имеет место неравенство . При этом отображение f компакта Xна компакт Yназ. e-отображением, если оно непрерывно, и полный прообраз f^-1 (у).каждой точки имеет в Xдиаметр

Теорема Щ е п и н а [2]. Размерность dim Xесть единственный, определенный соответственно в классе всех метрических, всех сепарабельных метрич. пространств Xразмерностный инвариант d(X), удовлетворяющий следующим условиям (теорема Щецина).

Условие 1) (аксиома Пуанкаре, см. выше).

Условие 2) (аксиома счетной суммы). Если принадлежащее к классу пространство Xесть объединение счетного числа своих замкнутых подпространств , для каждого из к-рых

Условие 3) (аксиом а Б р а у э р а в общей форме). Если для принадлежащего к классу пространства Xимеется , то существует такое конечное открытое покрытие w пространства X, что для всякого, принадлежащего к классу пространства Y, являющегося образом пространства X при каком-либо w-отображении, будет . При этом отображение f пространства X, на к-ром зафиксировано нек-рое открытое покрытие w, на пространство Y наз. (w-отображением, если каждая точка yпространства Y имеет окрестность Оу, полный прообраз к-рой f^-1 ( Оу).содержится в нек-ром элементе покрытия w.

Лит.:[1] А л е к с а н д р о в П.