Математическая энциклопедия - симметрическая функция

функция, не изменяющаяся при любой перестановке своих аргументов. С. ф. являются, напр., х 1+х 2+...+xn, x1x2...х п,

цифры в десятичной записи суммы произвольного количества одноразрядных чисел, "функция голосования", к-рая характеризуется тем, что ее аргументы принимают лишь два значения: 1 ("за") и 0 ("против"), а сама функция равна 1, если больше половины ее аргументов равны 1, и 0 в противном случае. Тривиальными примерами С. ф. являются константы и функция одной переменной.

Любая С. ф., отличная от константы, существенно зависит от всех своих переменных. Поэтому при добавлении несущественных переменных отличная от константы функция становится несимметрической, а при их изъятии может стать С. ф. Таким образом, понятие С. ф. связано с точным указанием всех ее переменных. Простой критерий симметричности функции f(x1,...,х п).состоит в одновременном выполнении двух равенств:

или правенств вида

К С. ф. относятся симметрические многочлены. Всякая рациональная С. ф. (над полем характеристики 0) является отношением двух симметрич. многочленов. Любая булева С. ф. на наборах значений аргументов, содержащих одинаковое число единиц, принимает одинаковые значения. Эти функции играют важную роль в математич. кибернетике и ее приложениях, в частности они встречаются при схемной реализации арифметических и нек-рых других операций.

Лит.:[1] В а в дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; [2] Яблонский С. В., Введение в дискретную математику, М., 1979. В. М. Храпченко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985