Математическая энциклопедия - симметрическое пространство

общее название нескольких видов пространств, встречающихся в дифференциальной геометрии.

1) Многообразие с аффинной связностью наз. аффинным локально симметрическим пространством, если тождественно равны нулю тензор кручения и ковариантная производная тензора кривизны.

2) (Псевдо) риманово многообразие наз. (псевдо) рименовым локально спмметрическим пространством, если ковариантная производная тензора его кривизны тождественно равна нулю.

3) Псевдориманово многообразие (соответственно многообразие с аффинной связностью) Мназ. псевдоримановым (аффинным) глобально симметрическим пространством, если с каждой точкой связана изометрия (аффинное преобразование) Sx многообразия Мтакая, что и хесть изолированная неподвижная точка преобразования Sx.

4) Пусть G - связная группа Ли, Ф ее инволю-тивный автоморфизм (Ф ²=id), G ^Ф замкнутая подгруппа всех Ф-неподвижных точек, компонента единицы группы и Н-замкнутая подгруппа в G, удовлетворяющая условию

Тогда однородное пространство G/H наз. симметрическим однородным пространством.

5) Симметрическим пространством в смысле Лоса наз. многообразие М, на к-ром задано умножение

удовлетворяющее следующим четырем условиям:

г) для каждой точки существует такая окрестность U, что для

Каждое аффинное (псевдориманово) глобально симметрия, пространство является аффинным (псевдоримановым) локально симметрия, пространством и однородным С. п. Любое однородное С. п. есть аффинное глобально симметрич. пространство и симметрич. пространство в смысле Лоса. Всякое связное С. п. Лоса есть однородное С. п.

Пусть М - связное С. п. Лоса, а значит и однородное пространство: M=G/H. Пространство G/H можно снабдить инвариантной аффинной связностью без кручения, обладающей следующими свойствами: 1) ковариантная производная тензора кривизны равна нулю, 2) каждая геодезическая g есть траектория нек-рой однопараметрич. подгруппы y группы G, и параллельный перенос векторов вдоль g совпадает с их трансляцией с помощью y; 3) геодезические замкнуты относительно умножения и наз. одномерными подпространствами. Аналогично вводится понятие произвольного подпространства Мкак такого подмногообразия Nв М, к-рое замкнуто относительно умножения и с индуцированным умножением является С. п. Замкнутое подмножество N в М, устойчивое относительно умножения, является подпространством. Аналог алгебры Ли для С. п. G/H вводится следующим образом. Пусть gи h - алгебры Ли групп Gи Н, а j=dФ e (дифференциал в единице), где Ф инволютивный автоморфизм, определяющий симметрическое однородное пространство G/H. Собственные векторы эндоморфизма пространства j, соответствующие собственному значению -1, образуют подпространство ттакое, что gесть прямая сумма подпространств ти h. а тможно отождествить с касательным пространством к пространству G/H в точке о=Н. Если ввести в векторном пространстве m трилинейную композицию

где R - тензор кривизны, то т станет Ли тройной системой. Если N - подпространство пространства M, проходящее через точку о, то касательное пространство к Nв точке оесть подсистема в m и обратно.

Если Месть С. п. Лоса, то произведение МХMтакже является С. п. Лоса. Пусть Rесть подпространство в МХМи отношение эквивалентности в М. Тогда Rназ. конгруэнцией. Это понятие используется для построения теории накрывающих для С. п. Две точки наз. коммутирующими, если

Центром Z(М).пространства Мотносительно точки наз. множество всех точек из М, к-рые коммутируют с точкой о. Центр Z(M).есть замкнутое подпространство в М, к-рое можно снабдить структурой абелевой группы. Пусть М - односвязное С. п. Тогда разыскание С. п., для к-рых Мявляется накрывающим пространством, сводится к классификации дискретных подгрупп группы Z(M).

Большое внимание при построении теории С. п. уделяется вопросам классификации (см. [2]). Пусть М - локально симметрическое риманово пространство; оно наз. приводимым, если в нек-рой системе координат его основная квадратичная форма может быть представлена в виде

В противном случае пространство наз. неприводимым. Э. Картан (Е. Cartan) показал, что разыскание всех неприводимых локально симметрических римановых пространств сводится к классификации инволютивных автоморфизмов вещественных компактных алгебр Ли, и проделал эту классификацию. Вместе с тем была решена задача локальной классификации симметрических однородных пространств с простыми компактными основными группами. Получена классификация симметрических однородных пространств с простыми некомпактными основными группами (см. [2], [3], [5]).

Лит.:[1] Широков П. А., Избранные работы по геометрии, Казань, 1966; [2] Картан Э., Геометрия групп Ли и симметрические пространства, пер. с франц., М., 1949; [3] Веrgеr М., "Ann. Sci. Ecole norm, super.", 1957, v. 74, p. 85177; [4] Loos O., Symmetric spaces, t. 1-2, N. Y.Amst., 1969; [5] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М.,1964.

А. С. Феденко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985