Математическая энциклопедия - симметричная алгебра

алгебра Енад полем комплексных чисел, снабженная инволюцией . Примерами С. а. являются: алгебра непрерывных функций на компакте, в к-рой инволюция определяется как переход к комплексно-сопряженной функции; алгебра ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве, в к-рой инволюция определяется как переход к сопряженному оператору; групповая алгебра локально компактной группы; алгебра мер на локально компактной группе. Элемент х* алгебры Еназ. сопряженным к элементу х;элемент наз. самосопряженным, или эрмитовым, если х*=х, и нормальным, если х*х=хх*;. если алгебра Есодержит единичный элемент 1, то элемент , удовлетворяющий условию х*х=хх*=1, наз. унитарным. Множество Е h эрмитовых элементов алгебры есть действительное векторное подпространство в Е, и любой элемент однозначно представляется в виде х=х 1+iх 2, где x1, ; элемент нормален тогда и только тогда, когда элементы x1, x2 перестановочны. Всякий элемент вида х*х эрмитов; единичный элемент эрмитов. Если хобратим, то х* также обратим и ( х*)^-1=(x^-1)*. Спектр каждого эрмитова элемента симметричен относительно действительной оси. С. а. Еназ. вполне симметричной алгеброй, если спектр любого элемента вида , содержится в множестве неотрицательных действительных чисел. Примерами вполне симметричных алгебр являются: С. а. непрерывных функций на компакте; С. а. ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве; групповые алгебры компактных и коммутативных локально компактных групп. Групповые алгебры некомпактных полупростых групп Ли не являются вполне симметричными. Коммутативная С. а. Етогда и только тогда вполне симметрична, когда все максимальные идеалы в Есимметричны, или тогда и только тогда, когда всякий характер коммутативной алгебры Еэрмитов. Любая С*-алгебра вполне симметрична.

Подмножество МС. а. Епаз. симметричным, если для всех . Отображение ср С. а.' Е в С. a. Fназ. симметричным, если <р (x)* =(f(x*).для всех . Ядро симметричного гомоморфизма С. а. Eв С. a. Fесть симметричный двусторонний идеал; всякий симметричный односторонний идеал является двусторонним, и факторалгебра С. а. по симметричному идеалу естественно снабжается структурой С. а. Радикал С. а. симметричен. Симметричная подалгебра Fв С. а. Еявляется С. а. Пусть -прямая сумма С. .а. Еи поля , в к-рой линейные операции и инволюция определяются покомпонентно, а умножение определяется формулой

для всех тогда есть С. а. с единичным элементом.

Линейный функционал / на С. а. наз. э р м и т о-в ы м, если для всех , и положительным, если для всех . Множество Eh эрмитовых линейных функционалов на Еесть действительное векторное подпространство пространства Е', сопряженного Е, к Е' есть прямая сумма подпространств Eh и iE'h. Если Есодержит единицу 1, то всякий положительный функционал / на Еэрмитов и для всех . Если / положительный функционал на С. а. Е, то f(y*x)=f(x*y).и для всех

Пусть С. а. Еснабжена нормой, превращающей Ев нормированную алгебру и удовлетворяющей условию х*||= x для всех ; тогда Еназ. нормирование ЙС. а. Если Еполна относительно рассматриваемой нормы, то Еназ. банаховой С. а. Всякая нормированная С. а. Е может быть вложена в нек-рую банахову С. а. , содержащую Екак плотную симметричную подалгебру; определена однозначно с точностью до изометрического симметричного изоморфизма: наз. пополнением Е. Если Е - банахова С. а., причем Еимеет аппроксимативную единицу, то всякий положительный функционал / на Енепрерывен и допускает продолжение до положительного линейного функционала на . Если Есодержит единичный элемент 1 и ||1||=1, то для любого положительного линейного функционала / на Евыполняются соотношения ||/|| = /(1) и , где ( х*х).спектральный радиус элемента х*г (см. Банахова алгебра).>

Эрмитов элемент вполне С. а. имеет действительный спектр, для любого максимального замкнутого левого идеала / во вполне С. а. Ес единичным элементом существует такой положительный линейный функционал /наE,что , и элемент обратим слева в Етогда и только тогда, когда f(x*x)>b для всех ненулевых положительных функционалов / на Е. Радикал вполне С. а. Есовпадает с множеством таких элементов , что /( х*х)-0 для всех положительных линейных функционалов / на Е. Банахова С. а. Е с единичным элементом 1 тогда и толвко тогда вполне симметрична, когда r(x*x)=sup f(x*x), где верхняя грань берется по множеству таких положительных линейных функционалов f на Е, что f(1)=1.

Лит.:[1] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [2] Диксмье Ж.,С *-алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974; [3] Рtak V., "Manuscripta Math.", 1972, v. 6, №3, p. 245-90; [4] Хьюитт Э., Росс К., Абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., т. 2, М., 1975. А. И. Штерн.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985