Математическая энциклопедия - симплициальный объект

категории произвольный контравариантный функтор X: (или, что то же самое, ковариантный функтор ) из категории D, объектами к-рой являются упорядоченные множества [n]={0, 1, . . ., п}, , а морфизмами неубывающие отображения m: . Ковариантный функтор (или, что то же самое, контравариантный функтор ). наз. косимплициальным объек-т о м категории . Морфизмы

категории D, определенные формулами

порождают любой морфизм категории D, так что С. о. Xполностью определен, если для любого задан объект Х([п])=Х п (наз. n-м слоем, или n-й компонентой, С. о. X).и морфизмы

(наз. соответственно операторами граней и операторами вырождения). В случае, когда является категорией структуризованных множеств, точки множества Х п наз. обычно n-мерными симплексами С. о. X. Отображения di и si удовлетворяют соотношениям

причем любое соотношение между этими отображениями является следствием соотношений (*). Это означает, что С. о. Xможно отождествить с системой {Х п, di, si}, состоящей из объектов Х n,, категории и морфизмов и

удовлетворяющих соотношениям

Аналогично, косимплициальный объект Xможно рассматривать как систему {Х п, dⁱ, sⁱ}, состоящую из объектов ( п х кослоев), и морфизмов dⁱ: (операторов кограней), и (операторов ковырождения), удовлетворяющих соотношениям (*) (в к-рых положено di=dⁱ, si=sⁱ).

Симплициальным отображением f: С. о. Xв С. о. Y(одной и той же категории ) наз. произвольное преобразование (морфизм) функтора в функтор , т. е. такая система морфизмов , критерии , что

,

Симплициальные объекты категории и их симплициальные отображения образуют категорию .

Симплициальной гомотопией , связывающей симплициальные отображения симплициальных объектов категории С, наз. такое семейство морфизов , категории , что

На основе этого определения в категории над произвольной категорией можно воспроизвести по существу всю обычную теорию гомотопий. В случае категории множеств или топологич. пространств функтор геометрич. реализации (см. Симплициальное множества).переводит эту "симплициальную" теорию в обычную.

Примеры С. о.: симплициальное множество, симплициальное топологич. пространство, симплициальное алгебраич. многообразие, симплициальная группа, симплициальная абелева группа, симплициальная алгебра Ли, симплициальное гладкое многообразие и т. д.

Каждая симплициальная абелева группа является цепным комплексом с граничным оператором d= S (-l)ⁱdi.

Лит.:[1] Габриель П., Цисман М., Категории частных и теории гомотопий, пер. с англ., М., 1971; [2] Мау J. Р., Simplicial objects in algebraic topology, Princeton, 1967; [3] Lamоtkе K., Semisimpliziale algebraische Topologie, В.[u. a.], 1968.

С. Н. Малыгин, М. М. Постников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985