Математическая энциклопедия - симплектическая связность

аффинная связность на гладком многообразии Мразмерности 2n, обладающая ковариантно постоянной относительно нее невырожденной 2-формой Ф. Если аффинная связность на Мзадана с помощью локальных форм связности

и

то условие ковариантного постоянства Ф выражается в виде

2-форма Ф определяет на Мсимплектич. структуру (или почти гамильтонову структуру), превращая каждое касательное пространство Т х (М).в симплектич. пространство с кососимметрич. скалярным произведением Ф (X, Y). С. с. можно определить так же, как аффинную связность на М, сохраняющую при параллельном перенесении векторов это произведение. Репер в каждом Т х (М).может быть выбран так, что

Все такие реперы образуют главное расслоенное пространство над М, структурной группой к-рого является симплектич. группа. С. с. это связность в этом главном расслоенном пространстве. Существуют многообразия Мчетной размерности, на к-рых нет невырожденной глобально определенной 2-формы Ф и, следовательно, нет С. с. Однако если Ф существует, то С. с., относительно к-рой Ф ковариантно постоянно, определяется неоднозначно.

Лит.:[1] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970. Ю. Г. Лумисте.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985