Математическая энциклопедия - симметрический оператор

отображение Амножества DA гильбертова пространства Н(в общем случае комплексного) в себя такое, что <Ах, у>=<х, Ау).для любых . Если DA- линейное многообразие, всюду плотное в Н(что предполагается в дальнейшем), то Л линейный оператор. Если DA=Н, то Аограничен и, следовательно, непрерывен на Н. С. о. А порождает на DA билинейную эрмитову форму В( х, у) =<Ах, у>, т. е. такую, что Соответствующая квадратичная форма < Ах, x> действительна. Обратно, действительная на Од форма < Ах, х> влечет симметричность А. Сумма А+В С. о. Аи В с, общей областью определения DA=DB есть снова С. о., и если l действительно, то lA также симметричен. Для всякого С. о. Асуществует однозначно определенное замыкание и сопряженный оператор . В общем случае А* не является С. о. и . Если А*=А, то С. о. наз. самосопряженным оператором. Таким будет, в частности, С. о., определенный на всем Н. С. о., ограниченный на DA, допускает продолжение на все Нс сохранением симметричности и ограниченности.

Примеры. 1) Пусть бесконечная матрица ||aij||, i, j=1, 2, . . ., такова, что , и

Тогда система равенств

ставящая в соответствие элементу элемент y={hi}, определяет ограниченный С. о., причем он оказывается самосопряженным в комплексном пространстве l2.

2) В комплексном пространстве L2(0, 1) оператор , определенный на множестве DA абсолютно непрерывных на [0, 1] функций, имеющих суммируемую с квадратом производную и удовлетворяющих условию х(0)=х(1)=0, есть С. о., не являющийся самосопряженным.

Лит.:[1] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [2] Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954. В. И. Соболев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985